tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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円分体の類数(相対類数)を調べたときのメモ

Wikipedia

Cyclotomic field - Wikipedia
円分体 - Wikipedia

相対類数 (OEIS)

素数 p に対して
A000927 - OEIS

100 までの素数
https://oeis.org/A000927/b000927.txt

一般の n に対して
A061653 - OEIS

n = 162 まで
https://oeis.org/A061653/b061653.txt


Wikipediaによると相対類数とは,

 \#{\rm Cl}(\mathbb{Q}(\zeta_p)) = h_p^{-}h_p^{+}

と書いたときの, h_p^{-} のこと。 h_p^{+} は実類数といって,最大実部分体  \mathbb{Q}(\zeta_p + \zeta_p^{-1}) の類数だそうです.ちなみに,最大実部分体はその名のとおり, \mathbb{Q}(\zeta_p + \zeta_p^{-1}) = \mathbb{Q}(\zeta_p)\cap \mathbb{R} の関係にある.

円分体の類数  \#{\rm Cl}(\mathbb{Q}(\zeta_p)) が素数  p で割れるとき, h_p^{-} p で割れる(逆も成り立つ)ので, p-部分の解析においては相対類数は重要.



こっちが類数?の一覧と思われる (OEIS)

A055513 - OEIS


変わり種。類数1のみ(素因数分解が一意な UFD)。

A005848 - OEIS


以下のページの結果が役に立ちました.10000までの  p-分体の相対類数  h_p^{-} が得られます.

Tables

REL-SUBF.gz という gzip ファイルに圧縮されています(圧縮の必要ある?)

データ形式がひどいので(なぜか十六進),整形する必要あり.以下の Ruby コードを使った.

# http://algo.epfl.ch/~amin/TAB.html
# よりダウンロードした REL-SUBF.gz を解凍したファイル SUBF-3-10000 を読み込んで, cl.csv を作成する Ruby コード
# 
# 出力形式:
# [素数 p],[相対類数 h_p]
# 

cl_list = []

File.open("SUBF-3-10000") do |io|

	# 溜めておくバッファ
	str = []

	# 先頭行から数えて何行か
	i = 0

	# 16進法で書かれた Cl_K を読んでいるとき 1, そうじゃないとき 0
	state = 0

	# 現在の素数 p
	p = 0


	io.each do |line|

		if line.length == 1 then
			cl = str.join.split(" ").join

			cl_list << [p, "0x#{cl}".to_i(16)]
			#puts cl

			i = 0
			state = 0
			str = []

		else
			if i == 0 then
				a = line.split(" ")
				p = "0x#{a[0]}".to_i(16)
				#print "#{p},"

			else 
				if i >= 2					
					if i==2 
						state = 1
						str << line 

					elsif state == 1
						if line[0] == " "
							state = 0
							str.pop

						else
							str << line #.split(" ").join	
						end
					end

				end

			end
			i += 1
		end

	end

end


File.open("cl.csv", "w") do |io|
	cl_list.each do |tuple|
		io.puts "#{tuple[0]},#{tuple[1]}"
	end
end

得られた結果を元に作った表。相対類数  h_p^- (p は 200 以下の素数)。

http://tsujimotter.info/works/riemann_zeta_leftside/datasheet.pdf

こちらは p<10000 までの数表。CSV形式。これも相対類数  h_p^- です。

http://tsujimotter.info/works/riemann_zeta_leftside/cl.csv

こっちはマニア受けしそう。

触れるゼータ関数はほかにもあった!

ボストン科学博物館でみれるらしい.

実際,公式ウェブサイトにいくと,それらしい写真が.
www.mos.org


そして3Dプリンタで出力している人.しかも買えるwww
(追記:Not for sale でした・・・)
www.shapeways.com

他人とは思えないw


ツイッターをはいかいしていたら,あれ,どっかで見た写真(参加者?)

自分のためにやることを、人のためにもなるように

この言葉がお気に入り過ぎて額に入れて飾りたいくらい。いつも探すのに苦労するのでここに貼らせてください。

アイゼンシュタイン級数

英語版のアイゼンシュタイン級数の項目がなかなか充実しています
Eisenstein series - Wikipedia, the free encyclopedia


まず、保型性の証明が好き。

あと、アイゼンシュタイン級数のq展開には約数関数が出てくる(約数関数のお化けみたいな級数)のだけど、これを考えると、約数関数の一般化ができそうだなと思った。