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tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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存在して一意であれば「名前」をつけよう

数学

「存在性の証明」と「一意性の証明」が大事だという感覚がなんとなくわかってきました。この2つを保証すれば、一意に定まる数(や関数など)を考えることができるんですね。一意に定まると言うことは、これに「名前」をつけることができるのです。

たとえば群論における「元の位数」なんかがそうですね。


有限群  G が与えられたときに、その有限群の1つの元を  g とする。この  g はべき乗していくと、いつかは必ず単位元  1 になります。

すなわち、任意の元  g\in G に対して、

 g^e = 1

を満たす整数  e が「存在する」のです。

 g^e 1 になるような最小の数を考えると、その数  e は「一意に」定まりますね。

「存在」して「一意に」定まるのですから、これには名前をつけてもよいでしょう。これを「  g の位数」と呼ぶことにします。


これはあくまで一例で、ほかにもいくらでも考えられると思います。

私も最初は、なんでこんな当たり前の証明をしているんだろう、と思ったりもしたのですが、ちゃんと意味があるのですね。この辺がわかってくると、数学の本を読んでいて楽しくなるかも知れません。