読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

記事一覧はこちらです。このブログの趣旨はこちら

メインブログである「tsujimotterのノートブログ」はこちら

偶数ゼータの分母の求め方

数学

こんなツイートをみかけたので。

分母は von-Staudt & Clausen の定理があるので簡単に求まります。分子は、イデアル類群と関係があったりで、まったくもって自明じゃないです。

von-Staudt & Clausen の定理は,マニアックな定理ですが,非常に便利です。定理自体は以下のスライドの 15p にあります。見なくても今日の話はわかります。

www.slideshare.net

 \zeta(2m) の「分母」の求め方

  1.  2m の約数を  d としたとき  d+1 が素数であれば、それらをすべて掛け合わせてできた数を  M とします。
  2.  M (2m)! をかけて,それを  N とします。
  3.  N から  2 を最大  2m 回(割れるだけ)割ります。最後に  2 をかけます。

例:  \zeta(4) の場合:

  1.  2m = 4 の約数は  d=1,2,4 です。ここで  d+1 = 2,3,5 より,すべて素数。よって  M = 2\cdot 3\cdot 5 = 30 です。
  2.  M (2m)! = 24 をかけて  N = 720 とします。
  3.  N から  2 を最大  4 回割ると  \displaystyle \frac{N}{2^4} = 45 となり,最後に  2 をかけて  90

よって, \displaystyle \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}