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tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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4n+1 型の合成数は2つの平方数の和であらわせるか?

数学

私の日曜数学活動をサポートしてくれているパートナーから以下のような趣旨の質問をもらった。

(4n+1型の素数が必ず2つの平方数の和でかけるが)4n+1型の合成数は2つの平方数の和で表せるのか?

これについては実はあまり深く考えたことがなかった。とてもするどい質問だと思った。


答えは「できるときとできないときがある」だ!

たとえば,"57" という数は

 57 = 4\cdot 14 + 1

 4n+1 型であるが,2つの平方数の和で表すことができない。*1



一般に,合成数が2つの平方数の和で表せる必要十分条件は,以下のとおりである。

ある正の整数が2つの平方数の和でかけるのは,素因数に 2 か 4n+1 型素数だけを持つときか,すべての 4n+3 型素因子の指数が偶数のときだけである。

実にややこしい条件だ。要するにいいたいことは,指数が奇数となるような 4n+3 型素因数が1つでも入ってしまうとアウトだ,ということ。2つの平方数の和で表すことができない。


このことは以下の流れで示すことができる。




まず,以下の補題を考える。

 p = 4k+3 かつ  p\mid n ならば, n x^2 + y^2, \; (x, y) = 1 の形ではかけない

もし, n が上の形でかけるならば,

 p \mid (x^2+y^2), \;\; (x, y) = 1

となるはずであるが, (x, y) = 1 より  p \nmid x, \; p \nmid y である。したがって, y \equiv lx \pmod p となる  l が存在するから,

 x^2(1+l^2) \equiv x^2  + y^2 \equiv 0 \pmod p

である。これより,

 1+l^2 \equiv 0 \pmod p

となるから, -1 p の平方剰余である。しかし, p = 4k+3 であるからそんなわけがない。補題証明終了。

続いて次を示す。

 p = 4k+3 かつ  p^c \mid n, \; p^{c+1} \nmid n (すなわち, c n の素因子  p の指数)で, c が奇数ならば, n x^2 + y^2 の形ではかけない

 n = x^2 + y^2 とし, (x, y) = d と仮定する。 d を割り切る  p の最高べきを  p^\gamma とする。すると,

 x = dX, \;\; y = dY, \;\; (X, Y) = 1,

とおいて,

 n  = d^2(X^2 + Y^2) = d^2 N

とできる。 N を割り切る  p の最高べきの指数は  d^2 の分を  c から引いたものだから, c-2\gamma。 c は奇数より  c - 2\gamma > 1 である。つまり, p N を割り切る。ゆえに,

 N = X^2 + Y^2, \;\; (X, Y) = 1, \;\; p \mid N

となってしまい,これは先の補題に反する。したがって, c は偶数でなければならない。


以上より,「指数が奇数となるような 4n+3 型の素因数が1つでも入ってしまうと,2つの平方数の和で表せない」ことがわかる。 4n+3 型素数は素因子に入っていてもいいが、平方数でなければならない。


次に示すのは,「 4n+1 型の素数か 2 か  4n+3 型素数の平方数(すべて  x^2+y^2で表せる数)を掛け合わせてできた数は,必ず  x^2+y^2 の形で表せる」ということだ。


これが実に面白い。高校生で習う以下の恒等式を使う。

ブラーマグプタの恒等式:

 (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac−bd)^2+(ad+bc)^2

左辺は任意の  x^2+y^2 型の2数の積で,右辺はこれが再び  x^2+y^2 の形であらわせることを意味している。

フェルマーの二平方定理より,4n+1 型の素数は,必ず  x^2+y^2 の形であらわせる。 2

 2 = 1^2 + 1^2

となって,明らかに2つの平方数の和で表せる。また, 4n+3 型素数も,その平方をとれば,

 (4n+3)^2 + 0^2

となり,無理やり2つの平方数の和で表せる。

これらを用いると,目的の「 4n+1 型の素数か 2 か  4n+3 型素数の平方数(すべて  x^2+y^2で表せる数)を掛け合わせてできた数は,必ず  x^2+y^2 の形で表せる」が言える。


以上で証明終了だ。QED.



「ブラーマグプタの恒等式」は高校1年のときに,式の展開や因数分解って,応用編として唐突に登場した覚えがある。まさかこんな形で証明に利用できるほど,有能な恒等式だったとは。



今回の話の結論としては,ようするに「一般の  n についての問題は, n の素因数に分解し,それぞれの素数の問題に帰着できる(場合がある)」ということだ。だから,素数がどういう形で表せる数なのか,素数の法則は何か,ということが本質的になってくるわけだ。まさに,「素数は数の元素」である。



せっかくなので,1から100までで,平方数の和で書ける数を具体的に列挙してみよう。ちゃんとルールどおりなっているか,確認してみてほしい。

赤字 4n+3 型の素数であるが,この指数はちゃんと偶数になっているだろう。

 1 = 1^2 + 0^2 = 1
 2 = 1^2 + 1^2 = 2
 4 = 2^2 + 0^2 = 2^2
 5 = 1^2 + 2^2 = 5
 8 = 2^2 + 2^2 = 2^3
 9 = 3^2 + 0^2 =  3 ^2
 10 = 1^2 + 3^2 = 2 \cdot 5
 13 = 2^2 + 3^2 = 13
 16 = 4^2 + 0^2 = 2^4
 17 = 1^2 + 4^2 = 17
 18 = 3^2 + 3^2 = 2 \cdot  3 ^2
 20 = 2^2 + 4^2 = 2^2 \cdot 5
 25 = 3^2 + 4^2 = 5^2
 26 = 1^2 + 5^2 = 2 \cdot 13
 29 = 2^2 + 5^2 = 29
 32 = 4^2 + 4^2 = 2^5
 34 = 3^2 + 5^2 = 2 \cdot 17
 36 = 6^2 + 0^2 = 2^2 \cdot  3 ^2
 37 = 1^2 + 6^2 = 37
 40 = 2^2 + 6^2 = 2^3 \cdot 5
 41 = 4^2 + 5^2 = 41
 45 = 3^2 + 6^2 =  3 ^2 \cdot 5
 49 = 7^2 + 0^2 =  7 ^2
 50 = 1^2 + 7^2 = 2 \cdot 5^2
 52 = 4^2 + 6^2 = 2^2 \cdot 13
 53 = 2^2 + 7^2 = 53
 58 = 3^2 + 7^2 = 2 \cdot 29
 61 = 5^2 + 6^2 = 61
 64 = 8^2 + 0^2 = 2^6
 65 = 1^2 + 8^2 = 5 \cdot 13
 68 = 2^2 + 8^2 = 2^2 \cdot 17
 72 = 6^2 + 6^2 = 2^3 \cdot  3 ^2
 73 = 3^2 + 8^2 = 73
 74 = 5^2 + 7^2 = 2 \cdot 37
 80 = 4^2 + 8^2 = 2^4 \cdot 5
 81 = 9^2 + 0^2 =  3 ^4
 82 = 1^2 + 9^2 = 2 \cdot 41
 85 = 2^2 + 9^2 = 5 \cdot 17
 89 = 5^2 + 8^2 = 89
 90 = 3^2 + 9^2 = 2 \cdot  3 ^2 \cdot 5
 97 = 4^2 + 9^2 = 97
 98 = 7^2 + 7^2 = 2 \cdot  7 ^2
 100 = 6^2 + 8^2 = 2^2 \cdot 5^2

余談

この記事は3回ぐらい書き直してます。これぐらい簡単に示せるだろう、とたかをくくっていたら、意外とまとまらず。どうしてもあーでもないこーでもない書き直して、最終的に以下の文献をみて解決しました。勘違いしていた部分も多々みつかって、大変勉強になりました。

参考文献

数論入門〈2〉 (シュプリンガー数学クラシックス)

数論入門〈2〉 (シュプリンガー数学クラシックス)

  • 作者: G.H.ハーディ,E.M.ライト,Godfrey Harold Hardy,Edward Maitland Wright,示野信一,矢神毅
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*1:グロタンディーク "素数" なのに!