リーマンの素数公式についての質問への回答

本記事は，こちらの記事のコメント欄における質問に対する回答です。

お返事遅くなりすみません。
ご質問の件について，少々長くなりましたがこちらで解説いたします。

まず，ご質問の内容は以下のものでした。

１．先生の、パワー・アップ後のグラフの、オレンジ色の線の関数に於ける　ｋ　と、下記のURLの、R_n(x)　に於ける　ｎ　とは、本質的に同じ物でしょうか。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12168471212
２．パワー・アップ前のページの、Ｉ（ｘ）　（アイ・エックス）の公式をお教え頂けますでしょうか。

確認事項ですが，質問の $R_n(x)$ の式とは，上記の Yahoo! 知恵袋の質問の中にある以下のリンク

http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding1.htm

という英文記事における $R_n(x)$ のことですね。

また，「パワー・アップ後のグラフ」いうのは私のブログ記事

リーマンの素数公式の可視化アプリがパワーアップしました - tsujimotterのノートブック

で紹介した以下のリンク先のアプリケーション

Visualization of Riemann's Prime Number Formula.

におけるオレンジ色の線（あるいは赤線）のグラフのことですね。

なお，「パワー・アップ前」とは，「パワー・アップ後」の記事以前に書いた

リーマンの素数公式を可視化する - tsujimotterのノートブック

の記事のことですね。

以上の確認を踏まえた上で，回答させていただきます。

質問２の回答

まず，わかりやすいので質問２の方から先にお答えします。

$I(x)$ は以下の形で定義される関数です。

$\displaystyle I(x) = \sum_{1\leq m \leq \log_2(x)}\frac{\mu(m)}{m} \left\{ \int_{x^{\frac{1}{m}}}^{\infty}\frac{dt}{t(t^2-1) \log(t)} - \log 2 \right\} \tag{1}$

$\mu(m)$ はメビウス関数と呼ばれるもので， $m$ が平方数を因子に含むとき $0$ ，それ以外のときに

$m$ の素因子の個数が偶数であれば $1$
$m$ の素因子の個数が奇数であれば $-1$

を返す関数です。

したがって，「パワーアップ前の記事」のリーマンの素数公式は

$\displaystyle \pi(x) = R(x) + \sum_{k=1}^{\infty}T_k(x) + I(x)$

と記述していましたが，上の式に $R(x), T_k(x), I(x)$ の定義をそれぞれ代入すると，

$\displaystyle \pi(x)= \sum_{1\leq m \leq \log_2(x)}\frac{\mu(m)}{m}li(x^{\frac{1}{m}}) - \sum_{1\leq m \leq \log_2(x)} \frac{\mu(m)}{m} \sum_{k=1}^{\infty} \left\{ li\left(x^{\frac{\rho_k}{m}}\right) + li\left(x^{\frac{\overline{\rho}_k}{m}}\right)\right\} + \sum_{1\leq m \leq \log_2(x)}\frac{\mu(m)}{m} \left\{ \int_{x^{\frac{1}{m}}}^{\infty}\frac{dt}{t(t^2-1) \log(t)} - \log 2 \right\} \tag{2}$

となります。これが一般的に用いられる「リーマンの素数公式」と呼ばれる式です。

すなわち，リーマンの素数公式は

$\displaystyle \begin{align} R(x)&= \sum_{1\leq m \leq \log_2(x)}\frac{\mu(m)}{m}li(x^{\frac{1}{m}}) \\ \sum_{k=1}^{\infty}T(x) &= - \sum_{1\leq m \leq \log_2(x)} \frac{\mu(m)}{m} \sum_{k=1}^{\infty} \left\{ li\left(x^{\frac{\rho_k}{m}}\right) + li\left(x^{\frac{\overline{\rho}_k}{m}}\right)\right\} \\ I(x) &= \sum_{1\leq m \leq \log_2(x)}\frac{\mu(m)}{m} \left\{ \int_{x^{\frac{1}{m}}}^{\infty}\frac{dt}{t(t^2-1) \log(t)} - \log 2 \right\} \end{align}$

という本質的に３つの項によって成り立っています。

１項目は「主要部」と呼ばれ，素数階段の近似の主要部分を担っています。

２項目は「振動部」と呼ばれ，これが「ゼータ関数の非自明な零点」に関係する項です。 $T_k(x)$ ひとつ分が「 $k$ 番目の非自明な零点による寄与」を表した項です。主要部 $R(x)$ に対して， $T_k(x)$ を $k=1$ から順番に足しあわせていくと，だんだんと素数階段 $\pi(x)$ に近づいていくのです。

３項目はおまけみたいなもので，第１項と第２項と比べると十分小さく，どの $x$ をとってもほとんど $0$ に近いので無視してもさほど目立たない項です。とはいえ，厳密に言えばこの項も含めないと $\pi(x)$ には一致はしません。理論的には，この項は「自明な零点」の寄与と考えることができます。

質問１の回答

さて質問１の方ですが，これについては「ややこしい事情」がありますので，前提となる説明をしてから回答に移ります。

まず，「パワーアップ後の記事」で用いている公式は，実は式 $(2)$ ではないのです。 $(2)$ よりも簡略化した以下のものを用いています。

$\displaystyle J(x)= li(x) - \sum_{k=1}^{\infty}\left\{ li\left(x^{\rho_k}\right) + li\left(x^{\overline{\rho}_k}\right)\right\} + \int_{x}^{\infty}\frac{dt}{t(t^2-1) \log(t)} - \log 2 \tag{3}$

式 $(3)$ の右辺全体に $\sum_{1\leq m \leq \log(x)}\frac{\mu(m)}{m}$ をかけて， $x$ を $x^{\frac{1}{m}}$ に置き換えると，式 $(2)$ の右辺に一致します。また，左辺は式 $(3)$ の $J(x)$ を $\pi(x)$ に置き換えると一致します。

「パワーアップ後の記事」で用いる数式を変更したのは，式の構造を簡単化するためです。そのためパワーアップの前後で，左辺が素数の個数関数 $\pi(x)$ から $J(x)$ に変わってしまっています。 $J(x)$ も素数階段のような関数ですが，特に名前はついていません。「離散関数」と呼んでいる文献を見たことがあります。

リーマンの原論文に登場している関数なので，私は便宜上「リーマンの階段関数」と読んでいます。ただし，リーマン自身は $f(x)$ と記述していました。

以上のように，リーマンの素数公式といっても，その書き方は文献によってまちまちで，なおかつ私のブログでも２つの記事で異なった書き方をしているために混乱を招いています。

ただ，構造としては，（メビウス関数がついている・ついていないの違いはあるにせよ）大きく３つの項により成り立っていることは変わりません。

すなわち，「パワーアップ後の記事」で用いている簡略化された素数公式は，以下の３つによって成り立っています。

$\displaystyle \begin{align} r(x)&= li(x) \\ \sum_{k=1}^{\infty}t_k(x) &= -\sum_{k=1}^{\infty}\left\{ li\left(x^{\rho_k}\right) + li\left(x^{\overline{\rho}_k}\right)\right\} \\ i(x) &= \int_{x}^{\infty}\frac{dt}{t(t^2-1) \log(t)} - \log 2 \end{align}$

「パワーアップ前の記事」で用いている式と「パワーアップ後の記事」で用いている式は，以下のように対応しています。

$\displaystyle \begin{align} R(x) &\longrightarrow r(x) \\ \sum_{k=1}^{\infty}T_k(x) &\longrightarrow \sum_{k=1}^{\infty}t_k(x) \\ I(x) &\longrightarrow i(x) \end{align}$

左側が「パワーアップ前の記事」で，右側は「パワーアップ後の記事」で用いている式です。パワーアップ前・後と言っているとややこしいので，以下この記号を用います。

さて，その上で質問１に回答しましょう。

「パワーアップ後の記事」のオレンジ色のグラフは，

$\displaystyle \cancel{r(x) + \sum_{k=1}^{n}t_k(x)} \tag{4}$

$\displaystyle r(x) + \sum_{k=1}^{n}t_k(x) - \log 2 \tag{4}$

2017/01/18: 訂正しました。

を用いています。つまり，式 $(3)$ の「主要部」に対して，「振動項」の最初の $n$ 個だけを足しあわせた式です。すなわち，「ゼータ関数の非自明な零点」を最初の $n$ 個だけ使って作った式です。リーマンの素数公式は，本来は無限に多くの零点の寄与を足していくものですが，最初の $n$ 個だけを用いているのです。 $n$ を十分大きくとれば，リーマンの素数階段 $J(x)$ に近づいていきます。