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tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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朝岩澤理論1:岩澤理論とその展望(上)

朝岩澤理論

岩澤理論とその展望(上) (岩波数学叢書)

岩澤理論とその展望(上) (岩波数学叢書)

を読み始めた(2017/1/20スタート)。

朝8時から9時の一時間限定で毎日勉強をする。目標は3月までの100時間で読み終えること(全163ページ)。

この記事では、感動ポイントをまとめていく。あくまで自分のメモ用なので、分かりにくくても勘弁。

第1週目(2017/1/20 〜 1/26)

1/20:岩澤理論序章(1.1, 1.2)

  • ディリクレの類数公式を使ってクンマーの判定法がわかるのか!まじで!?

1/21:函数体と代数体のアナロジー(1.3)

  • 1変数代数函数体  k[T] と代数体  K の類似性についてよくわかった
  • フロベニウスと位相的生成元が対応する

1/22:Fermatの最終定理の完全解決(1.4),円分 \mathbb{Z}_p拡大(2.1)

  • オイラーシステム: p 以外の  l_1, l_2, \cdots, l_g をいっぱいくっつけて考える
    • イデアル類群  \longleftrightarrowゼータの特殊値
    • セルマー群  \longleftrightarrow L函数の特殊値
  • 円分拡大のガロア群が  (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^\times に同型
    • 単射準同型   K(\mu_{p^n})/K で一般的に証明できる
    • 全射      \mathbb{Q}(\mu_{p^n})/\mathbb{Q} でしか成り立たない(数論特有の性質を使う:円分多項式の既約性、アイゼンシュタイン既約判定法)

1/23:\mathbb{Z}_p拡大の存在(2.1)

  •  \mathbb{Q}上の \mathbb{Z}_p拡大は円分\mathbb{Z}_p拡大ただ1つ  
  •  K上の \mathbb{Z}_p拡大は、 K 上の円分 \mathbb{Z}_p拡大  K_\infty = K\mathbb{Q}_\infty を少なくとも1つもつ(一般にはほかにいくつあるかわからない)
    • どれぐらい大きいかに興味がある

1/24: K\mathbb{Z}_p拡大の大きさ(2.1)

  • K の素点の少なくとも1つは  K_\infty で分岐する
    • どうやって証明するの?

不分岐拡大を仮定する
->すべての素点で不分岐だと仮定すると、最大不分岐拡大に含まれる。
->最大不分岐拡大のガロア群がイデアル類群と同型
->イデアル類群の有限性より、最大不分岐拡大のガロア群も有限
->最初の不分岐拡大のガロア群も有限となるが、これはZp拡大の無限性に矛盾。
->だから少なくとも1つの素点で分岐する

この流れかっこいい。なるほど不分岐類体論ってこうやって使うのか、ってなった。

  • 最大アーベル拡大:めっちゃでかい(無限個の円分体の合成体)
  • 最大不分岐拡大:小さい(イデアル類群程度の有限次拡大)

1/25: K\mathbb{Z}_p拡大の大きさ②と Leopoldt予想(2.1)

  •  K_\infty はどれぐらい存在するか、その「大きさ」を具体的に決定したい。
    • すべての K_\infty の合成体を \tilde{K}_\infty として  {\rm Gal}(\tilde{K}_\infty/K) \mathbb{Z}_p 上のランクを決定する。
    • これが不等式で抑えられる。
      • 最大アーベル拡大をとって上から抑える
      • 大域類体論の完全系列をつくって、埋め込み同士の関係を考える
      • 有限素点(l進的な埋め込み)、無限素点(実埋め込み)、総正、総負の埋め込みの直和を考える
      • 埋め込みっていうのは、同じものだとみなしているんだな

 (埋め込んだ先の全体を埋め込みを部分群とみなして、それで割ったりする。 A\hookrightarrow B だったら  B/A みたいなことをする)

  • Leopoldt 予想:上記の不等式が、具体的に等式になる同値な条件
    • これによって具体的にすべての \tilde{K}_\infty の「大きさ」がわかる
    • Kが有理数体、虚二次体のときは解決
      • Baker の代数的独立性定理の p進類似を使うらしい!
    • Kが総実代数体のときは、同値な条件が示されている

1/26:岩澤代数の定義と性質(2.2)

  • 前提:逆極限、イデアルによる完備化、正則局所環、Krull次元(Atiya, Macdonald を読んでください)、あと測度論
  • 加法群  \mathbb{Z}_p に同型な位相群を  \Gamma とする
    •  \Gamma は位相的巡回群、位相的生成元  \gamma がとれる
    • 部分群  \Gamma^{p^n} を考えて、商をとると  \Gamma/\Gamma^{p^n} となる.これを  \Gamma_n とおく.位数  p^n の巡回群となる.
  • 完備群環  \displaystyle \mathcal{O}[[\Gamma]] =  \varprojlim_n \mathcal{O}[[\Gamma_n]] を岩澤代数とよび  \Lambda_{\mathcal{O}} と表す
    •  \tilde{K}_\infty/K のガロワ群を考えると、多変数の岩澤代数も定義できる
    • 多変数の岩澤代数は肥田理論ともつながるらしい!
  • 岩澤代数はべき級数環である [J-P. Serre, 103]
    •  \gamma 1+T に移すような(非標準的な)同型  \Lambda_{\mathcal{O}} \simeq \mathcal{O}[[T]] がある

やっと一週間が終わった。