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tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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朝岩澤理論2:岩澤理論とその展望(上)

朝岩澤理論

tsujimotter-sub.hatenablog.com

の続き。


ポイントをまとめていく。あくまで自分のメモ用なので、分かりにくくても勘弁。

第2週目(2017/1/27 〜 2/2)

1/27:べき級数環としての岩澤代数(2.2.1)

  • 岩澤代数はべき級数環である [J-P. Serre, 103]
    •  \gamma 1+T に移すような(非標準的な)同型  \Lambda_{\mathcal{O}} \simeq \mathcal{O}[[T]] がある
    • 完備軍艦として見かけ上抽象的に定義された  \mathcal{O}[[\Gamma]] が比較的馴染み深い形式的べき級数と同型(心理的にも抵抗が少なくなり、可換環論的な取り扱いも楽になる
    • 一方で、同一視は  \gamma の選び方に依存する、「非標準的な」構成になっている。
    • 「標準的/非標準的」の例がもっとほしい
  • 「(p進)Weierstrassの準備定理」と「  \mathcal{O} (\varpi) を極大イデアルとする Krull次元が1の完備正則局所環であること」から、系として以下がわかる
    •  \Lambda_\mathcal{O} \simeq \mathcal{O}[[T]] は Krull次元が2の完備正則局所環
    • 素イデアルは単項素イデアル  (\varpi) または  (P(T)) (既約な非単数根多項式)
    • 極大イデアルは  (\varpi, T)(唯一の非単項イデアル)
    • これが「可環論的に取り扱いが楽」っていう例になっているのかな?

1/28:べき級数環としての岩澤代数(2.2.1)(続き)、

  • ワイエルシュトラスの準備定理の証明
  • 補題2.15  R が完備局所環とするとき  F(T) = a_0 + a_1 Y + \cdots = \in R[[T]] が可逆限であるための必要十分条件は  a_0 \in R^\times となることである。
    •  R は局所環なので極大イデアルが1個ある。 a_0 \not\in R^\times ならば、 a_0 は極大イデアルに含まれる。 a_0, T R[[T]] の極大イデアルに含まれるので、 F(T) は可逆限ではない。逆は形式的な計算より得られる。
  • 補題2.16  R \mathfrak{m} を極大イデアルにもつ完備ネーター局所環とする。べき級数  F(T) に対して、ある自然数  l が存在して  a_l\in R^\times かつ  a_0, \cdots, a_{l-1} \in \mathfrak{m} と仮定。このとき、 l 次係数が  1 l-1 次以下の係数がすべて  \mathfrak{m} に入る  P(T) U(T)(可逆元)が存在して  F(T) = P(T) U(T) と一意に表せる
    •  R \mathfrak{m}^i で割って  \bmod{\mathfrak{m}^i} で考えて、 i で帰納法を使う

1/29:測度のなす環としての岩澤代数(2.2.2)

  •  \mathcal{O} を値に持つ  \Gamma 上の測度  \mu を考えて、この測度のなす  \mathcal{O} 加群を  Meas(\Gamma ; \mathcal{O}) と表す
  •  \mu, \mu' \in Meas(\Gamma ; \mathcal{O}) に対して、 g \in \Gamma 上の函数  u(g) に畳み込み積を定義することで、 Meas(\Gamma ; \mathcal{O}) は可換環となる。単位元は、 \Gamma の単位元  1_{\Gamma} に対応するDirac測度  \mu_{1_{\Gamma}}
  • 補題2.19 自然な環同型  Meas(\Gamma ; \mathcal{O}) \xrightarrow{\sim} \Lambda_{\mathcal{O}} がある
  • 命題2.20  \Gamma の連続指標  \eta \colon \Gamma \rightarrow \overline{\mathbb{Q}_p}^\times は、先の同型写像と可換である(可換図式がある)
  • 前のセクションもそうだけど、岩澤代数  \Lambda_{\mathcal{O}} の同型をたくさん用意して、そっちによって色々議論できるように準備しているようにみえる。

1/30:正則函数環としての岩澤代数(2.2.3)

  •  \Gamma 上の  \overline{\mathbb{Q}_p}^\times 値連続指標  \eta \in C_{cont}(\Gamma, \overline{\mathbb{Q}_p}^\times) を考える(これが「空間」上の「点」とみなす)
  •  \Gamma の位相的生成元  \gamma を固定すると、 C_{cont}(\Gamma, \overline{\mathbb{Q}_p}^\times) \xrightarrow{\sim} U(1,1; \overline{\mathbb{Q}_p}) という全単射がある
  • 逆に、 f(\eta) = \eta(f) と定めることで  f\in \Lambda_{\mathcal{O}} は空間  U(1,1; \overline{\mathbb{Q}_p}) (乗法の単位元1を中心としたp進単位開円板)上のある種の函数環と思える
  • 上記の函数環には「一致の定理」の類似が成り立つ
    •  f\in \Lambda_{\mathcal{O}} が無限個の異なる \eta において  f(\eta) = 0 を満たすとき  f=0 が成り立つ
    • 証明はp進Weierstrassの準備定理を用いて、 F(T) \neq 0 ならば単位円板上の零点の個数が有限であることを導いて(導ける?)その対偶をとる
  • 特に円分  \mathbb{Z}_p 拡大 \Gamma = \Gamma_{cyc} のとき、以下の数論的指標が重要となる
    • 開部分群  U \subset \Gamma_{cyc} が存在して  \eta\mid_U = \kappa_{cyc}^w となる( \kappa_{cyc} は円分指標)
    • 重さ w が重要。これを選ぶごとに  w の数論的指標は可算無限個ある
    • 一致の定理により、p進L函数の定まった重さ w の数論的指標での特殊値たちによって、p進L函数を一意に特徴付けられる
    •  \Gamma_{cyc} 以外の多変数岩澤代数にも一般化されるらしい

1/31:変形環やHecke環としての岩澤代数(2.2.4)

  • 「岩澤代数はさまざまなp進理論において形を変えつつ登場する」
  • ガロワ表現の変形環(Mazur)あのバリーメイザー
    •  \mathcal{R} 上の普遍ガロワ変形  \mathcal{T} \simeq R^{\oplus d} がある(いわゆる  R=T ってやつ?)
  •  p 進 Hecke 環
    •  GL(2)_K に対する保型形式はⅡ部・Ⅲ部で登場
    •  GL(1)_K に対する保型形式
      •  GL(1)_K のレベル  \mathfrak{N} を持ち係数環  \mathcal{R} の保型形式の Hecke 環  \;\; \simeq \;\; 導手  \mathfrak{N} の狭義イデアル類群  Cl(K, \mathfrak{N}) \mathcal{R} 係数群環  \mathcal{R}[Cl(K, \mathfrak{N})]
      • 岩澤代数もレベル  p^n の狭義イデアル類群  \Gamma_n \mathbb{Z}_p 係数群環  \mathbb{Z}_p [ \Gamma_n] の射影極限なので、 GL(1)_{\mathbb{Q}} のレベル  p^n の保型形式の空間上の Hecke 環の極限としての解釈を持つ
    • 本書の主張「肥田理論を含めたガロワ表現の変形を中心に据えて、岩澤理論を組み立て直すこと」

2/1:岩澤加群の性質(2.3)(〜p.32)

  • 岩澤代数上のコンパクト加群 = 岩澤加群
    • 例:イデアル類群など(岩澤代数の作用が入る)
    • 岩澤加群に付随する不変量(岩澤不変量 \mu, \lambda)や性質を取り出したい
  • 前提:可換環論(松村)、蛇の補題などの加群の図式・ホモロジー代数(河田)
  • 補題2.23 コンパクトな位相的  \mathcal{O} 加群  M が連続な  \Gamma 作用を持つとき、 M は自然にコンパクト  \Lambda_\mathcal{O} 加群の構造を持つ
    •  \displaystyle M \rightarrow \varprojlim_n M_{\Gamma^{p^n}} が同型であることを示す( M_{\Gamma^{p^n}} は自然に  \Gamma_n = \Gamma/\Gamma^{p^n} 加群より、極限とって右辺は \Lambda_\mathcal{O} 上の加群)
      • 単射: M \rightarrow M_{\Gamma^{p^n}} のカーネルは  \bigcap_{n\geq 1}(\gamma^{p^n} - 1)M である。 M のコンパクト性とネーター性より、これをゼロにできる。
      • 全射: \displaystyle \varprojlim_n M_{\Gamma^{p^n}} の元を  \displaystyle \varprojlim_n m_n とおくと、各 n m_n\in M_{\Gamma^{p^n}} は閉集合。 m_n のプルバックを考えて、 M のコンパクト性より空集合でないことを示す。
  • Pontryagin双対  A^{\lor} \Lambda_{\mathcal{O}} 加群
    •  A^{\lor} = {\rm Hom}_{cont}(A, \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) には  g\in\Gamma とすると、 f\in A^{\lor} に対して  (gf)(x) := f(g^{-1}x), \;\; \forall x\in A として  \Gamma の作用が入る
    • そういえば、楕円曲線のセルマー群のほうで Pontrjagin 双対が出てきた(たしかこれにしないと有限生成捩れ岩澤加群にならない)。
  • 定理2.25(岩澤加群の位相的中山の補題)
    •  M をコンパクト  \Lambda_\mathcal{O} 加群として  \mathfrak{m} を極大イデアルとする。 M/\mathfrak{m}M が位数有限なら  M は有限生成  \Lambda_\mathcal{O} 加群
    • 一般の場合について述べた上で証明(明日)

2/2 :岩澤加群の基礎事項と有限性補題(2.3.1)(〜p.33)

  • 一般の中山の補題を証明した(ざっくり言うと、 R/m 加群  M/mM が有限生成なら  R 加群  M も有限生成。)
    •  R のネーター性からクルルの交叉定理を使って、前回と同じように極限に飛ばすという流れ。面白い。
  • 「2.3.2 ネーター正規整域上の加群の構造定理」にもちょろっと入った。
    • 岩澤加群の構造定理(イデアルで割った剰余の直積で「擬同型」が作れる)を示すために一般的な場合で述べる
    • 構造定理において、岩澤代数の「完備性」などの性質は本質的でない
    • 定義の説明に「高さ」が出てくるらしい
    • 「正規性」ってなんだろう・・・

二週も続いているのは、すごい。このまま継続したい

しばらく岩澤代数の基本的な話が続いたが、ようやく岩澤加群の構造定理の話に入ってきて、テンションが上がっている。先取りすると、構造定理によって任意の岩澤加群を「擬同型」という形で表現することができる。さらに表現によらない岩澤不変量が取り出せる。これが重要。


「可換環論」をちゃんと勉強していないので、よくわからない箇所が多々でてきた。ちゃんと勉強したほうがいいだろうか・・・。しかし時間がない。

復刊 可換環論

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Atiyah‐MacDonald 可換代数入門

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