第4週目に突入。
朝岩澤理論1:岩澤理論とその展望(上) - tsujimotterの下書きノート
朝岩澤理論2:岩澤理論とその展望(上) - tsujimotterの下書きノート
朝岩澤理論3:岩澤理論とその展望(上) - tsujimotterの下書きノート
の続き。
ポイントをまとめていく。あくまで自分のメモ用です。
第4週目(2017/2/10 〜 2017/2/16)
2/10:岩澤加群の特殊化に関する代数的な準備(2.3.4)(つづき)
- 前回の上の式を証明するために、いろいろ補題を証明している。
- ついに「蛇の補題🐍」が出てきた。これは楽しい!!!
- あと、完全系列の位数の等式を作っているのだけれど、これはエルブランの補題(コホモロジーの関係式)みたいなのを使っているのかしら?よくわからない
2/11:岩澤加群の特殊化に関する代数的な準備(2.3.4)(つづき)
- 蛇の補題🐍が今日も活躍
- 完全系列にたいして、 倍写像をした、あるいは をtensorした完全系列をつくり、2本の完全系列に対して蛇の補題🐍を実行すると、Coker同士の要素数の関係式が出てくる。
- 単射:ker が 0 はよく使うので重要
- メインの補題の証明:
- の議論をより大きな 上の議論に持って行く。この を が分解できるまで十分大きな拡大体としても問題ないことを示す。
- 次に を利用して、蛇の補題🐍を使って次から次へ1次式へと落としていき、その1次式の議論を の同型から 上の円分多項式 の議論に持って行く。これもまた蛇の補題🐍を使う。
- さらに、蛇の補題🐍を使って、 の議論にもっていき、最後は 進的な性質で位数が剰余体の位数 でかけることを示す。
2/12:岩澤加群の特殊化に関する代数的な準備(2.3.4)(つづき)
今日でこの2.3.4節が終わるので、しっかりまとめる。
が成り立つ。
ただし, は の岩澤不変量。 は剰余位数 , は 進体 の絶対分岐指数。
この式を求めたいというのが当面の目標だった。これには基本岩澤加群の解析が必要であるが,これに蛇の補題🐍が大活躍する(計4回登場)。
基本岩澤加群 を
とおく。前半
が 不変量に関する部分,後半
が 不変量に関する部分である。
さて, は有限生成ねじれ 加群なので,構造定理より以下の短完全列が得られる。
それぞれに, の射を適用して,もう一本の短完全列をつくる。図式を2つに分けて,蛇の補題🐍🐍を適用することにより
を得る。 より の箇所は単射である( は 0)を使った。
の箇所を解析することで
- から が( 部分)
- から が( 部分)
出てくる。 乗, 乗に関しては,多項式に対する指数から得られる。
が成り立つので, が分解するまで十分大きな で議論して良い。
とすると,短完全列
に の射を適用して短完全列,これに蛇の補題🐍を適用すると
から,次数を一つ落とすことができる。これを続けて に帰着できる。
また,
同型があるから, で議論できる。
として, の 上の最小多項式 を使って書くと,自然な単射
が得られる。これに, を施すと,以下の短完全列が得られる。
それぞれに, の射を考えて(真ん中に対しては を当てる)可換図式を得る。この図式に,またもや蛇の補題🐍を適用すると
を得る。
進体に関する基本事項によって右辺の計算をする。 を を満たす自然数のうち最大のものとすると, を満たす に対して
が成り立つ。
よって, のとき, と で割った部分に分けられる。このとき,後半部分については
とかける。よって,
が出てくる。
から,
が得られる。
2/13:イデアル類群の円分岩澤理論(3章)
- 今日から第3章
- ついに岩澤類数公式が登場!
- を勝手な 拡大とする.第 中間体 の類数の 部分( べきして消える部分群)は以下を満たす
- 以上の は の中間体すべてを尽くしていることに注意
- 戦略
- の最大不分岐アーベル拡大 を考えて,そのガロア群を とする.
- とすると, は自然な連続 作用を持つ
- たぶん,これが有限生成ねじれ岩澤加群になるので,昨日の内容を使って公式を導ける(まだやってないので推測)
- イデアル類群と最大アーベル拡大のガロア群は同型なので、これで類数公式の完成(まだやってないので推測)
2/14:寝坊につきお休み
- 連続記録が途絶えてしまった・・・残念
2/15:岩澤類数公式の証明(3.1.2)
- 昨日のお休みを回収するべく、ちょっと長めに時間をとった。
- 岩澤類数公式の方針は 2/13 に書いた通り。ただちょっとややこしくて、ガロア理論と不分岐拡大を使って頑張って を導く
- は の最大不分岐pべき(pro-p?)拡大として、 はそのガロア群
- 今回は以下の2点を仮定した(この方が筋が見えやすい):
- [仮定1] の素点で の上にあるものはただ一つ(これを とおく)
- [仮定2] における唯一の 上の素点は において完全分岐する
- 流れ:
- の交換子群の位相的閉包 を考える。固定体を考えることで, が示せる。
- を 上にある の上の一意的な素点での惰性部分群とする。 は不分岐拡大で, で惰性してそこから で完全分岐するので,これらの拡大は独立に進む。つまり である。
よくわかってないがもわかる。よって - これより がわかる
- 類体論より である
- イデアル類群は有限アーベル群より有限生成ねじれ 加群。したがって は有限生成ねじれ 加群。
- 系2.40(2月7日)より、 は有限生成ねじれ岩澤加群。
- したがって、2/12 に示した定理 2.45 により として類数公式が成り立つ。証明終了。
- 不分岐拡大を使ってうまく同型を示して行って、最後に類体論でバシッとイデアル類群に対応づけるのかっこいい
2/16:岩澤類数公式の証明(3.1.2)(つづき)
- 上の2つを仮定しない、一般の場合の岩澤類数公式の証明をした
- ちょっと難しくて証明の流れをかいつまんで説明できない・・・。復習が必要。
- まず、 の十分大きな中間体 を持ってきても類数公式を示すのに問題ない( において の分岐する素点 は完全分岐する)
- 以上の仮定より惰性部分群 は、 と同型である。位相的生成元 に対応する の元を とおく。
- 一般の場合には、 とはならず(右辺が無限群となる場合もある)、実際は となる。
- これより、不分岐類体論と合わせて次が示される
- より、 とおいて、 として岩澤類数公式が成り立つ。
雑感
- あとで書く
- 一回休んでしまったのがめちゃめちゃ悔しい・・・。
現在の進捗状況と目標ページ数の比較