tsujimotterの下書きノート

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2次体の類数と連分数

ものさんという方に教えていただいたのですが、ザギヤー「数論入門 ゼータ関数と2次体」という本に面白い定理が載っていたので紹介します。

数論入門―ゼータ関数と2次体

数論入門―ゼータ関数と2次体

定理3(p.144):

 p \equiv 3 \pmod{4} を, p\neq 3 である素数,

 \displaystyle \sqrt{p} = n_0 - \cfrac{1}{n_1 - \cfrac{1}{n_2 - \cfrac{1}{\ddots - \cfrac{1}{n_r - \cfrac{1}{\ddots}}}}}

 \sqrt{p} の連分数展開とし,最小周期を  n_1, \cdots n_r とし, \mathbb{Q}(\sqrt{p}) の広義の類数は 1 であるとする.

このとき, \mathbb{Q}(\sqrt{-p}) の類数は

 \displaystyle \frac{1}{3}(n_1 + \cdots + n_r) - r

に等しい.

例を計算すると

 \sqrt{7} = [[3, \overline{3, 6}]] に対して  h(-7) = \frac{1}{3}(3+6) - 2 = 1

 \sqrt{11} = [[4, \overline{2, 2, 8}]] に対して  h(-11) = \frac{1}{3}(2+2+8) - 3 = 1

 \sqrt{163} = [[13, \overline{5, 2, 2, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 5, 26}]] に対して  h(-163) = \frac{1}{3}(5 + 2 + 2 + 4 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 2 + 2 + 5 + 26) - 35 = 1

ほんまや!


連分数展開と2次体の類数が結びつくなんて不思議ですね。

ものさんによると,連分数展開は2次体の性質を調べる上で標準的な道具になっているそうです。

ザギエの本は,買って以来ずっと棚の中にあったのでした。ほかにも魅力的なトピックがたくさん載っているみたいなので,ちゃんと読んでみようかなと思いました。