練習問題：部分分数分解の公式 - tsujimotterの下書きノート

tsujimotter.hatenablog.com

の記事で書いた問題が気になったので計算してみた。

練習問題：
以下の式を部分分数分解せよ。
$\displaystyle \frac{1}{(s+1)^2(s+2)} \tag{1}$

式 $(1)$ を $s = -1$ の周りでローラン展開すると

$\displaystyle \frac{1}{(s+1)^2(s+2)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s+1} + \text{（正則部分）}$

となる。ここで、両辺に $(s+1)^2$ をかけると

$\displaystyle \begin{align} \frac{1}{s+2} &= A + \frac{B}{(s+1)}(s+1)^2 + \text{（正則部分）}\times (s+1)^2 \\ &= A + B(s+1) + \text{（正則部分）}\times (s+1)^2 \end{align} \tag{2}$

となる。

$s = -1$ を代入すると

$\require{cancel} \displaystyle \frac{1}{(-1)+2} = A + \cancel{B(s+1)} + \cancel{\text{（正則部分）}\times (s+1)^2}$

となり、 $A = 1$ がわかる。

ここで $B$ の計算が少し問題になる。式 $(2)$ に $s = -1$ を代入せず、微分すると

$\require{cancel} \displaystyle \frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s+2}\right) = B + \text{（正則部分）}\times (s+1)$

とできる。左辺は $\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s+2}\right) = \frac{-1}{(s+2)^2} = \frac{-1}{(s+2)^2}$ である。

ここで $s = -1$ を代入すると

$\require{cancel} \displaystyle \frac{d}{ds}\left(\frac{-1}{((-1)+2)^2}\right) = B + \cancel{\text{（正則部分）}\times (s+1)}$

$B = -1$ が得られる。

正則部分については、普通に $\frac{C}{s+2}$ とおいて考えると $C = 1$ がわかる。

よって、

$\displaystyle \frac{1}{(s+1)^2(s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2} - \frac{1}{s+1} + \frac{1}{s+2}$

が得られた。

検算すると

$\displaystyle \begin{align} \frac{1}{(s+1)^2} - \frac{1}{s+1} + \frac{1}{s+2} &= \frac{(s+2) -(s+1)(s+2) + (s+1)^2}{(s+1)^2(s+2)} \\ &= \frac{s+2 -s^2 -3s - 2 + s^2 + 2s + 1}{(s+1)^2(s+2)} \\ &= \frac{1}{(s+1)^2(s+2)} \end{align}$

となり、たしかに成り立っている。