素因数分解の一意性と単数 - tsujimotterの下書きノート

とても良い気付きを得たのでメモしておく。

整数 $\mathbb{Z}$ の世界では，素因数分解は一意に定まる。

つまり，

$10 = 2\times 5$

のように書けて，これ以外の形で分解されることはない。これを，素因数分解の一意性という。

一方で， $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の世界を考えると，この世界では素因数分解の一意性は保たれない。

具体的に有名な例を挙げると，

$6 = 2\times 3$

と分解されるが，これと異なる分解方法も存在する。

$6 = (1-\sqrt{-5})\times (1+\sqrt{-5})$

ここで， $2, 3, (1-\sqrt{5}), (1+\sqrt{5})$ はそれぞれ， $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ における素数であるから，これ以上分解されることはない。したがって，素因数分解は二通りのままである。

二次体の整数環を考えていったときに，一番最初に素因数分解の一意性が失われるのが，この $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ なので，よく例に挙がるのだ。（「やり玉に挙がる」と言ってもよさそうだ。）

＊　＊　＊

ここで，これの前に登場する二次体の整数環は，果たして一意性がちゃんと保たれているのだろうか，という疑問が新たに沸いてくる。

このように考えてみたところ，アイゼンシュタイン整数 $\mathbb{Z}[\omega]$ （ただし， $\omega = \frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ ）において，反例が見つかったのではないか，と一瞬焦ってしまった。（正確に言うと，１時間ぐらい唸っていた。）

具体的に例を挙げると，こういうことである。 $4$ というアイゼンシュタイン整数を考えたときに，

$4 = 2\times 2$

のように分解されるが，一方で

$4 = (1-\sqrt{-3})\times (1+\sqrt{-3})$

のような分解も可能である。

ここで，それぞれの数が素数であるか，すなわち「これ以上分解できないかどうか」が問題である。

$2$ は素数っぽい。じゃあ， $(1-\sqrt{-3})$ は素数でないのか？

たしかに， $2$ で割れば， $\frac{1-\sqrt{-3}}{2}$ となってこれもアイゼンシュタイン整数だ。

ん？あれ？ $2$ で割ったということは，

$\displaystyle \frac{1-\sqrt{-3}}{2} \times 2 = 1-\sqrt{-3}$

とかけるということだ。すると，こうなるだろう。

$\displaystyle 4 = \frac{1-\sqrt{-3}}{2} \times 2 \times \frac{1+\sqrt{-3}}{2} \times 2$

ちょっと待て。

これって結局， $4$ を二通りの方法で表しているではないか！
素因数分解の一意性が失われとるやんけ！

と思って混乱したのである。

いったいどう解釈したらよいものか。

＊　＊　＊

分かってみるとあっけないのだが，この考えはやはり間違っている。
では，この現象はどのように解釈すれば良いか。

まず，整数 $\mathbb{Z}$ の場合について改めて考えたい。

最初の例は，（実を言うと）以下のように表すことも出来てしまう。

$10 = (-1) \times 2\times (-1) \times 5$

一方，この式を見て「素因数分解の一意性が失われた」とわざわざ言う人はいないであろう。

この， $(-1)$ は単数と言って「素因数分解の一意性を考える上では無視される」のである。ちなみに， $1$ も単数である。

つまり，これも

$10 = 1 \times 2\times 1 \times 5$

これも

$10 = 1 \times 2\times 1 \times 5$

これも

$10 = (-1) \times 2\times (-1) \times 5$

（本質的には）同じ分解と考えてよい，ということである。

別の言い方をすると，単数を $\gamma$ としたとき， $\gamma$ を素数 $p$ にかけ合わせた数 $\gamma \times p$ は，素数 $p$ と同じ数への分解と見なしてよい，ということでもある。

さて，ここでアイゼンシュタイン整数に戻るが， $\mathbb{Z}[\omega]$ においては，単数は全部で 6 個ある。列挙するとこうだ。

$1, -1, \omega, (-\omega), (1-\omega), (-1+\omega)$

ここで，先ほど $2$ の前にかかっていた数を考えると，

$\displaystyle \frac{1-\sqrt{-3}}{2} = 1-\omega$

$\displaystyle \frac{1+\sqrt{-3}}{2} = \omega$

であるから，結局単数だったのである。

したがって，これらを $\gamma_1, \gamma_2$ とおけば，

$\displaystyle 4 = \gamma_1 \times 2 \times \gamma_2 \times 2$

となって，「単数がかかっていただけ」ということがわかったのである。

また，別の見方をすると， $2$ と $(1-\sqrt{-3})$ の間には，

$\displaystyle (1-\sqrt{-3}) = \gamma_1 \times 2$

の関係があるので，（単数を除くと）同じ数への分解である，とも言えますね。

かくして，アイゼンシュタイン整数において，無事に素因数分解の一意性は保たれたのでした。

あー，すっきりした。

理論を追っているときは，どうしても「単に面倒なだけの単数」と思ってしまう。しかしながら，今回の例のように，ちゃんと考慮に入れないといけないものなのである。意外なところに落とし穴があるのだ。

一方で，このようなことを正確に伝えようとすると，なかなか大変であるというのもまた事実。実際，よくある「通俗書」的な文章では，単数の話は隠蔽されて，表面の面白いところだけに絞って話される。じゃあ，通俗書で興味を持ったから，いざ「専門書」を開いてみようと思うと，圧倒的な難しい記述に面食らってしまうのだ。

「通俗書」と「専門書」には，やはり大きなギャップがあるのだな，ということをしみじみと実感したのでした。