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tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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平方根のガウス記号

本編のブログでこんな記事を書いていたときに,

平方剰余の第一補充則から二平方定理を導く - tsujimotterのノートブック


途中で以下の不等式が出てきました。

 (\lfloor \sqrt{p}\rfloor + 1)^2 > p

記事ではさらっと流してしまったのですが,よくよく考えたら,本当にそれが成り立つのか自信がなくなってきたので,証明してみたいと思います。


ちなみに, p は本編では「素数」としていましたが,一般の正の整数でも成り立ちます。


 \lfloor x \rfloor は,いわゆる「ガウス記号」で「 x 以下の最大の整数」を表しています。

参考までに TeX だと以下のように書きます。

\lfloor x \rfloor


みなさん苦手なやつですよね。tsujimoter も苦手です。

これが登場したときは,定義に遡って考えないとよくわからなくなりますので,まず定義式を書きましょう。

 \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1


ここから変形して,冒頭の式を証明しましょう。

まず,両辺の不等号をバラバラにします。

 \lfloor x \rfloor \leq x
 x < \lfloor x \rfloor + 1

そして,これを  \lfloor x \rfloor が中心になるように変形します。

 x - 1 < \lfloor x \rfloor \leq x

 x = \sqrt{p} を代入します。

 \sqrt{p} - 1 < \lfloor \sqrt{p} \rfloor \leq \sqrt{p}

両辺に  1 を加えます。

 \sqrt{p} < \lfloor \sqrt{p} \rfloor + 1 \leq \sqrt{p} + 1

すべて正の値なので,二乗します。

 p < (\lfloor \sqrt{p} \rfloor + 1)^2 \leq (\sqrt{p} + 1)^2


ここで,左側の不等式を見ると,目的の式になっていますね。

あーよかった。ちゃんと成り立っていました。