本編のブログでこんな記事を書いていたときに,
平方剰余の第一補充則から二平方定理を導く - tsujimotterのノートブック
途中で以下の不等式が出てきました。
記事ではさらっと流してしまったのですが,よくよく考えたら,本当にそれが成り立つのか自信がなくなってきたので,証明してみたいと思います。
ちなみに, は本編では「素数」としていましたが,一般の正の整数でも成り立ちます。
は,いわゆる「ガウス記号」で「 以下の最大の整数」を表しています。
参考までに TeX だと以下のように書きます。
\lfloor x \rfloor
みなさん苦手なやつですよね。tsujimoter も苦手です。
これが登場したときは,定義に遡って考えないとよくわからなくなりますので,まず定義式を書きましょう。
ここから変形して,冒頭の式を証明しましょう。
まず,両辺の不等号をバラバラにします。
そして,これを が中心になるように変形します。
を代入します。
両辺に を加えます。
すべて正の値なので,二乗します。
ここで,左側の不等式を見ると,目的の式になっていますね。
あーよかった。ちゃんと成り立っていました。