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tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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二次体の整数環の本当の定義

前回は「整数環はややこしい」と言ったところで終わりました。

二次体の整数環はややこしい - tsujimotterの下書きノート


今回は,整数環の本当の定義を説明しましょう。

その前に,最小多項式の話をしておきましょう。


二次体  \mathbb{Q}(\sqrt{m}) の任意の元を  \alpha とします。この  \alpha は,次のような整係数の二次方程式の解となるはずです。

 ax^2 + bx + c = 0

整係数なので, a, b, c \in \mathbb{Z} です。

 \alpha が解であることは,二次体の元が  q+r\sqrt{m} (ただし, q, r\in \mathbb{Q}) と表されることと,二次方程式の解の公式を考えれば明らかでしょう。

最小多項式とは,このような方程式のうち次数が最小となるものです。有理数だったら,最小多項式は1次になりますね。

ここで,最小多項式の最高次の項の係数が  1 であるとき,その最小多項式はモニックであるといいます。

二次体の元のうち,最小多項式がモニックであるようなすべての元の集合は「環」をなします。この環のことを,二次体の整数環と呼ぶのです。


といっても,最小多項式も直感的じゃないし,モニックもよくわからないですよね。そこで,もう少し直感的な定義を出しましょう。

まず,ノルムとトレースを定義します。

その前に, \alpha に共役な元を定義しましょう。

二次体の元  \alpha

 \alpha = q + r\sqrt{m}

のように書いたとき,

 \alpha' = q - r\sqrt{m}

の式で定義される  \alpha' \alpha に共役な元といいます。複素数の共役とほぼ同じ意味です。

なぜ,共役かというと, \alpha の最小多項式  f(x) があったときに, \alpha' f(x) の根になります。したがって,

 f(\alpha) = 0
 f(\alpha') = 0


これを使って,最小多項式を具体化していきます。 \alpha, \alpha' ともに,上の方程式の解になるので,しかも最小多項式がモニックであれば,以下のように因数分解できます。

 f(x) = (x-\alpha)(x-\alpha')

展開すると,

 f(x) = x^2 -(\alpha+\alpha')x + (\alpha\alpha')

 \alpha, \alpha' の定義を書き下すと,

 f(x) = x^2 -2qx + (q^2-mr^2)


さて,整数環の定義を思い出すと,最小多項式がモニックかつ整係数,でした。モニックはもう既に入れたので,あとは整係数であることです。すなわち,

 2q \in \mathbb{Z}
 q^2-mr^2 \in \mathbb{Z}

上の式を  \alphaトレース,下を  \alphaノルムといって,それぞれ  {\rm Tr}(\alpha), {\rm N}(\alpha) で表します。これらが,整数になるような  \alpha を集めたものが,整数環というわけですね。

二次体を  K としたとき, K の整数環  \mathcal{O}_K は以下のように定義できます。

 \mathcal{O}_K = \{\alpha \in K \mid {\rm Tr}(\alpha) \in \mathbb{Z}, {\rm N}(\alpha) \in \mathbb{Z}\}


ふぅ〜,ようやく定義できました。

あとは,これをガチャガチャ計算していけば,きっと前回の条件が出てくるはず・・・。

というわけで今日はこの辺にしておきます。


また,参考文献のリンクを貼っておきます。(ちなみに,今日の話は四章の冒頭のあたりの話)

素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)

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