二次体の整数環の本当の定義

前回は「整数環はややこしい」と言ったところで終わりました。

二次体の整数環はややこしい - tsujimotterの下書きノート

今回は，整数環の本当の定義を説明しましょう。

その前に，最小多項式の話をしておきましょう。

二次体 の任意の元を とします。この は，次のような整係数の二次方程式の解となるはずです。

整係数なので， です。

が解であることは，二次体の元が （ただし，） と表されることと，二次方程式の解の公式を考えれば明らかでしょう。

最小多項式とは，このような方程式のうち次数が最小となるものです。有理数だったら，最小多項式は１次になりますね。

ここで，最小多項式の最高次の項の係数が であるとき，その最小多項式はモニックであるといいます。

二次体の元のうち，最小多項式がモニックであるようなすべての元の集合は「環」をなします。この環のことを，二次体の整数環と呼ぶのです。

といっても，最小多項式も直感的じゃないし，モニックもよくわからないですよね。そこで，もう少し直感的な定義を出しましょう。

まず，ノルムとトレースを定義します。

その前に， に共役な元を定義しましょう。

二次体の元 を

のように書いたとき，

の式で定義される を に共役な元といいます。複素数の共役とほぼ同じ意味です。

なぜ，共役かというと， の最小多項式 があったときに， も の根になります。したがって，

これを使って，最小多項式を具体化していきます。 ともに，上の方程式の解になるので，しかも最小多項式がモニックであれば，以下のように因数分解できます。

展開すると，

の定義を書き下すと，

さて，整数環の定義を思い出すと，最小多項式がモニックかつ整係数，でした。モニックはもう既に入れたので，あとは整係数であることです。すなわち，

上の式を のトレース，下を のノルムといって，それぞれ で表します。これらが，整数になるような を集めたものが，整数環というわけですね。

二次体を としたとき， の整数環 は以下のように定義できます。

ふぅ〜，ようやく定義できました。

あとは，これをガチャガチャ計算していけば，きっと前回の条件が出てくるはず・・・。

というわけで今日はこの辺にしておきます。

また，参考文献のリンクを貼っておきます。（ちなみに，今日の話は四章の冒頭のあたりの話）

素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)