絶対ガロア群とガロア表現

難しい文章を読んでいるとたまに見るんですが、何やらけったいな名前だと思っていたのです。

が、実際のところはたいした話ではなかった。

方程式論とかで使う 上のガロア拡大としては、 上の最小多項式の根である代数的な元 を考えて を に添加した拡大体 を考えますよね。すると、これは有限次拡大なので、ガロア群 も有限群となります。

で、ここからが絶対ガロア群の話ですが。 にさらに代数的な元を加えて新たに を作る。これをずっと繰り返していくと、いつかはどんな代数的な元を加えても拡大されなくなる。これが代数的閉包というやつで、 と表します。

もちろん、この代数的閉包に対してもガロア群は考えられるはずで、これを としましょう。これが の絶対ガロア群です。ね、ぜんぜんたいしたこと無いでしょう。

これが面白いのは、先ほどの を含む 上のすべての代数的な拡大体が、この に含まれるのです。したがってガロア理論より、 は絶対ガロア群 の正規部分群 の剰余群と同型になりますね。

さらにいうと、絶対ガロア群 は のような線形群に埋め込むことが出来るそうなのです。したがって、 上の拡大に対するガロア群は、すべて単純な行列の言葉でかけるということ。何やら便利そうな話ですね。こういうように、ガロア群を のようなわかりやすい群に埋め込むことを「ガロア表現」というようです。

あー、たったそれだけのことだったのか。これでだいぶ難しい文章の意味がとれそうでほっとしました。