tsujimotterの下書きノート

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ガウス和が二次体の元になるのはなぜ？

数学

ガウス和 $G_N$ を

$\displaystyle G_N := \sum_{k\in (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times}} \chi_N(k)\; \zeta_N^k$

のように定義したとき、

$\mathbb{Q}(G_N) = \mathbb{Q}(\sqrt{m})$

となるような square-free な整数 $m$ が存在することを示します。

$\chi_N$ は、二次体に付随するディリクレ指標で、以下のような準同型写像として定義されます。

$\chi_N\colon (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times} \longrightarrow \{\pm 1\}$

以下は仮定します。

$\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_N)/\mathbb{Q}) \simeq (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times} \tag{1}$

まず、 $G := \text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_N)/\mathbb{Q})$ とおく。

準同型定理より $\text{Ker}\; \chi_N$ は $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times}$ の正規部分群で、

$(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times} \big/ \text{Ker}\; \chi_N \simeq \text{Im}\;\chi_N$

となる。 $\text{Im}\;\chi_N$ の位数は $2$ より、 $\text{Ker}\; \chi_N$ に対応する $G$ の部分群 $H$ が固定する体 $K$ は二次体であり、以下のガロア対応が成り立つ。

$\mathbb{Q} \subset K \subset \mathbb{Q}(\zeta_N)$

$G \supset H \supset \{e\}$

ところで、 $G$ の元として、 $\sigma_k$ を以下のように定義すると、

$\sigma_k \colon \zeta \mapsto \zeta^k$

$(1)$ の同型において $\text{Ker}\; \chi_N$ に対応する $G$ の部分群 $H$ は、

$H = \{ \sigma_k \mid k \in \text{Ker}\; \chi_N \}$

であり、

$G\backslash H = \{ \sigma_k \mid \chi_N(k) = -1, \; k \in (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times \}$

である。明らかに $H$ の元はガウス和 $G_N$ を不変にし、 $G\backslash H$ の元は $G_N$ の符合を変える。

したがって $H$ の固定体は $K$ であったから、

$K \supset \mathbb{Q}(G_N)$

であり、 $\mathbb{Q}(G_N)\neq \mathbb{Q}$ である。

さて、 $K$ は二次体であるから、 $\mathbb{Q}(G_N)$ も二次体である。したがって、 $\mathbb{Q}(G_N) = \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ となるような、 square-free な整数 $m$ が存在する。これが示したいことであった。