tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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j不変量が指定の値とするような楕円曲線のモデル

数学備忘録

いつも忘れるのでメモ。[AEC III.1. Prop. 1.4 (c)] を参照すること。

$j(E) = j_0$ に一致するような楕円曲線 $E$ のWeierstrassモデルを求める。 $j_0$ の値によって場合分けする。

$j_0 \neq 0, 1728$ のとき：

$E: y^2 + xy = x^3 - \cfrac{36}{j_0 - 1728}x - \cfrac{1}{j_0 - 1728}$

$j_0 = 0$ のとき：

$E: y^2 + y = x^3$

$j_0 = 1728$ のとき：

$E: y^2 = x^3 + x$