ザリスキー接空間 - tsujimotterの下書きノート

tsujimotter.hatenablog.com

この記事でザリスキー接空間を扱ったのだが、そのときは余接空間 $\mathfrak{m}_P / \mathfrak{m}_P^2$ の双対空間として定義した。もう少し直接的に接空間をできるらしいと聞いたので、考えてみたいと思う。

環準同型

$\begin{align} \phi \colon \;\;\mathbb{R}[x] \;\;\; &\longrightarrow \; \mathbb{R}[\varepsilon], \\ a + b(x-p) + g(x) (x-p)^2 &\longmapsto a + b\varepsilon \end{align}$

から始めたいと思う。

$R = \mathbb{R}[x]$ として、点 $P$ における局所環 $R_P$ を考えると、これは $P$ で正則な有理関数全体のなす局所環である。 $R_P$ の任意の元 $f$ はテイラー展開すると

$f(x) = a + b(x-p) + g(x)(x-p)^2$

と表せる。ただし、 $g(x)$ は点 $P$ で正則な関数である。

したがって、この係数 $a, b$ を用いて $a + b\varepsilon$ を割り当てる写像を考える。

$\begin{align} \tilde{\phi} \colon \;\; R_P \;\;\; &\longrightarrow \; \mathbb{R}[\varepsilon], \\ a + b(x-p) + g(x) (x-p)^2 &\longmapsto a + b\varepsilon \end{align}$

すると、この $\tilde{\phi}$ は環準同型写像である。特に加法群についての準同型写像。

ここで、上記の写像と $\mathbb{R}[\varepsilon] \to \mathbb{R}; a + b\varepsilon \mapsto b$ を合成した写像を $v$ とおくと

$\begin{align} v \colon \;\; R_P \;\;\; &\longrightarrow \; \mathbb{R} \\ a + b(x-p) + g(x) (x-p)^2 &\longmapsto \;\; b \end{align}$

ということになるが、この $v$ に着目する。これは $R_P$ から $\mathbb{R}$ への写像であり、①線形性と②ライプニッツ則を満たす。したがって、これは微分作用素である。

また、 $f(x) = a + b(x-p) + g(x) (x-p)^2$ に対して $v(f) = b$ なので、これは

$\displaystyle v = \left(\frac{d}{dx}\right)_{P}$

だと思って良さそうだ。

微分作用素 $\left(\frac{d}{dx}\right)_{P}$ が生成する1次元ベクトル空間をザリスキー接空間 $T_P(X)$ と定義する。

ところで、これは余接空間 $\mathfrak{m}_P / \mathfrak{m}_P^2$ の双対空間 $(\mathfrak{m}_P / \mathfrak{m}_P^2)^*$ とも一致する。

ここで、 $\mathfrak{m}_P = (x-p) R_P$ は $R_P$ の極大イデアルであるが、上記の写像 $v$ を $\mathfrak{m}_P$ に制限したものを改めて $v$ とすると

$\begin{align} v \colon \;\; \mathfrak{m}_P \;\;\; &\longrightarrow \; \mathbb{R}\varepsilon \simeq \mathbb{R} \\ b(x-p) + g(x) (x-p)^2 &\longmapsto \;\; b\varepsilon \mapsto b \end{align}$

ということになる。これに対して、 $\operatorname{ker} v = \mathfrak{m}_P^2$ なので、線形写像 $v \colon \mathfrak{m}_P \to \mathbb{R}$ に対する準同型定理より

$\tilde{v} \colon \mathfrak{m}_P / \mathfrak{m}_P^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

なる準同型写像が一意的に存在する。これは $(\mathfrak{m}_P / \mathfrak{m}_P^2)^*$ の元である。基底の行き先が分かったので、あとはその定数倍を送れば良さそう。（たぶん）

これの幾何的な意味を考えたいと思う。

接空間 $(\mathfrak{m}_P / \mathfrak{m}_P^2)^*$ は微分作用素 $\left(\frac{d}{dx}\right)_P$ （の定数倍）であって、余接空間は「点 $P$ で互いに接する多項式の同値類」なのであった。ということは、多項式の同値類 $[f]$ に $\left(\frac{d}{dx}\right)_P$ を当てると、点 $P$ における微分係数 $\frac{df}{dx}(P)$ が取り出せるわけだ。

すなわち、これは接空間 $(\mathfrak{m}_P / \mathfrak{m}_P^2)^*$ と余接空間 $\mathfrak{m}_P / \mathfrak{m}_P^2$ の内積をとっていることに他ならない：

$\begin{align} (\mathfrak{m}_P / \mathfrak{m}_P^2)^* \times \mathfrak{m}_P / \mathfrak{m}_P^2 \; &\longrightarrow \;\;\; \mathbb{R}, \\ \left( a\left(\frac{d}{dx}\right)_P, \; [f] \right) \;\;\;\; &\longmapsto a\frac{df}{dx}(P) \end{align}$