Chebotarevの密度定理の使い方がわかった - tsujimotterの下書きノート

２つのガロア表現 $\rho, \rho' : G_K \to \mathrm{Aut}_R(M)$ が与えられたとき，その同値性の判定は簡単ではない．ところが，それぞれのガロア表現の半単純化 $\rho^{ss}, \rho'^{ss}$ に関して言えば， $K$ のすべての不分岐な素点 $v \in \Sigma_K\backslash S$ に対するフロベニウス元 $\mathrm{Frob}_v$ （ $\in G_K$ ）のトレースの値 $\mathrm{tr}(\rho(\mathrm{Frob}_v)), \mathrm{tr}(\rho'(\mathrm{Frob}_v))$ の一致によって同値性を判定できる．面白いことに，この証明には「Chebotarevの密度定理」を使うことになる．

Chebotarevの密度定理を使うポイントは，

【仮定】任意の不分岐な素点 $v$ のフロベニウス $\mathrm{Frob}_v$ について $\rho, \rho'$ 同士のトレースが等しい．すなわち

$\mathrm{tr}(\rho(\mathrm{Frob}_v)) = \mathrm{tr}(\rho'(\mathrm{Frob}_v)), \;\; \forall v \in \Sigma_K\backslash S$

から

【結論】任意の $G_K$ の元について $\rho, \rho'$ 同士のトレースが等しい．すなわち

$\mathrm{tr}(\rho(g)) = \mathrm{tr}(\rho'(g)), \;\; \forall g \in G_K$

を導く部分である．簡単に説明したい．

まず準同型定理により，ガロア表現 $\rho, \rho'$ は $G_K$ を $\mathrm{Ker}\rho \cap \mathrm{Ker}\rho'$ で割った群 $H := G_K/\mathrm{Ker}\rho \cap \mathrm{Ker}\rho'$ を経由するから， $H$ に対する表現だけを観察すればいい．

$E = \{h \in H \mid \mathrm{tr}(\rho(h)) = \mathrm{tr}(\rho'(h))\}$

という集合を考えて， $E = H$ であることが【示すべきこと】である．
このとき， $E \subset H$ は【閉】集合であることがわかる．理由は参考文献で．

一方，次の集合を考える：

$F = \{h \in H \mid \exists v \in \Sigma_K\backslash S, h = \mathrm{Frob}_v)\}$

つまり $F$ は不分岐な素点 $v$ についてのフロベニウス $\mathrm{Frob}_v$ に一致するような $H$ の元の集合である．

これは，【仮定】より $E$ に含まれる．なぜなら，【仮定】により，少なくともフロベニウスについてだけいえば， $\rho, \rho'$ のトレースが一致することがわかっているから．よって， $F \subset E$ ．

もっというと， $F \subset E \subset H$ ．

ここで，【Chebotarevの密度定理】より， $F$ は $H$ の中に【稠密】に入っている（このPDFの系1.4より）．
すなわち，稠密集合の定義より， $F$ の閉包（定義： $F$ を含むような最小の閉集合）は $H$ に一致する．

したがって，閉集合 $E$ は $F$ を含むので，明らかに $H$ に一致しなければならない．よって， $E = H$ がいえるというわけだ．

よって，すべての $h \in H$ について $\rho$ と $\rho'$ のトレースが一致することがいえて，【結論】が示された．証明おしまい．

参考文献：
今こちらを勉強しています．該当箇所は「命題 2-2-6.」です．「Chebotarevの密度定理」の使いどころはずっと気になっていたので，理解できてすごくうれしくてこの記事を書きました．
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009yamauchi.2010-2-13.pdf

また前提知識として，こちらも読んでおくといいと思います．
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009preparation.pdf