tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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イデアルを三角関数で表す

数学

今日は「サインカーブ整数論」について。

$\sin(\pi x)$

って，

$x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots$

のときに，イコール $0$ になりますよね。

このように，関数の値がイコール $0$ になる点のことを「ゼロ点」って呼びます。

で，このゼロ点全体の集合はちょうど，整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ と一致しますよね。

$\mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots\}$

これ，面白いなと思った訳ですよ。

ちょっと工夫すれば，倍数の集合，すなわち，「イデアル」も表せるんじゃないかなって。

たとえば，

$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)$

を考えると，この関数のゼロ点の集合は，

$\{0, \pm a, \pm 2a, \pm 3a, \cdots\}$

これ， $a$ の単項イデアルそのものなんですよね。

$(a) = \{0, \pm a, \pm 2a, \pm 3a, \cdots\}$

面白いですよね！

こうすると，これをもとに何か考えたくなってきますね。
何か良い問題ないかなぁ・・・。

というわけで，簡単ですが今日はこの辺で。

スペシャルサンクスは，このお話を一緒になって考えてくれた「おれのテトラちゃん」でした。