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tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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イデアルを三角関数で表す

今日は「サインカーブ整数論」について。

 \sin(\pi x)

って,

 x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots

のときに,イコール  0 になりますよね。


このように,関数の値がイコール  0 になる点のことを「ゼロ点」って呼びます。

で,このゼロ点全体の集合はちょうど,整数全体の集合  \mathbb{Z} と一致しますよね。

 \mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots\}


これ,面白いなと思った訳ですよ。


ちょっと工夫すれば,倍数の集合,すなわち,「イデアル」も表せるんじゃないかなって。


たとえば,

 \displaystyle \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)

を考えると,この関数のゼロ点の集合は,

 \{0, \pm a, \pm 2a, \pm 3a, \cdots\}

これ, a の単項イデアルそのものなんですよね。

 (a) = \{0, \pm a, \pm 2a, \pm 3a, \cdots\}


面白いですよね!

こうすると,これをもとに何か考えたくなってきますね。
何か良い問題ないかなぁ・・・。


というわけで,簡単ですが今日はこの辺で。

スペシャルサンクスは,このお話を一緒になって考えてくれた「おれのテトラちゃん」でした。