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tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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朝岩澤理論7:岩澤理論とその展望(上)

朝岩澤理論

tsujimotter-sub.hatenablog.com

の第7週目(なかなかしんどい週だった)。


ポイントをまとめていく。あくまで自分のメモ用です。

第7週目(2017/3/3 〜 3/9)

3/3:Coleman写像によるp進L函数の構成(3.2.4)(つづき)

  • (あとで全体像を理解してから書いているメモ) \newcommand{\zp}{\mathbb{Z}_p}  \newcommand{\cyc}{{\rm cyc}}
  •  \prod \widehat{\mathbb{Z}[\zeta_N ]}_\mathfrak{p} 加群  \prod \widehat{\mathbb{Z}[\zeta_N ]}_\mathfrak{p} [[Z]] の自己準同型写像  D F(Z) \mapsto (1+Z)\frac{d}{dZ}F(Z) で定義した。
    • これはあとでわかるが単なる微分を考えている。 Z = e^z - 1 を代入して変数変換すると, D \mapsto \frac{d}{dz} となる
  •  \left( 1 - \frac{\varphi}{p}\right) \circ \log によって定まる  \zp[ \Delta_N ] の完全列を示した

3/4:Coleman写像によるp進L函数の構成(3.2.4)(つづき)

あとでまとめる

3/5:Coleman写像によるp進L函数の構成(3.2.4)(つづき)

あとでまとめる

3/6:Coleman写像によるp進L函数の構成(3.2.4)(つづき)

  • ノルム系から  \zp[\Delta_N][[G_{\cyc}]] への写像(Coleman写像の合成写像)の完全系列を作った(Thm3.54)。
  • 以上の写像の像の元として Stickelberger 元を定義した
  • Stickelberger元に指標を適用して,ガウス和をかけたものを考えた
  • 次回からp進L函数の別構成がはじまるらしい

3/7:Coleman写像によるp進L函数の構成(3.2.4)(つづき)

  • ようやくp進L函数の構成ができた
  •  \displaystyle L_p(\psi) = \psi \omega^{-1}\left(\frac{1}{hoge}\iota\left(D(\Xi(a))\right)\right)
  •  \displaystyle \Xi(a) \cdot (1+Z) = \left( 1-\frac{\varphi}{p} \right) (G_{\mathbf{u}(a)}(Z))
  •  \Xi(a) \cdot(1+Z) に関係するのは補題3.55か
  •  \mathbf{u}(a) はノルム系(補題3.46で具体例を与えたもの)

3/8:Coleman写像によるp進L函数の構成(3.2.4)(つづき)

  • これまでの構成の手順をまとめた  \newcommand{\cyc}{{\rm cyc}} \newcommand{\zp}{\mathbb{Z}_{p}}
    • (A) 円単数のノルム系   \mathbf{u} \; \Longrightarrow^{(1)} \; Colemanべき級数  F_{\mathbf{u}}(Z) \; \Longrightarrow^{(2)} \;  \zp[\Delta_N][[\Gamma_{\cyc}]] の元
    • (B)  F_{\mathbf{u}}(Z) \big|_{Z = e^{z} - 1} の対数微分が  L(\eta, s) の特殊値の母函数  f_{\eta}(z) と「ほぼ等しい」
  •  (A)(1) の箇所を省いてもp進L函数の新しい構成はできるが、 (A)(1) のステップを挟むことで、p進L函数と円単数が結びつき、岩澤主予想の円単数のEuler系を用いた証明に使えるらしい。
  • わからない点:
    • 「対数微分」「母函数」と言っている部分はどこのことを指しているのだろう
    •  F(Z)\big|_{Z=e^z - 1} の対数微分が  L(\eta, s) の特殊値の母函数  f_{\eta}(z) と「ほぼ等しい」 F(Z) が 3.2.2 項ですでに直接構成されている』らしいのだが、それはいったいどの話であろうか
    • あ、わかったかも!!!
  • Ferrero-Washingtonの定理( L_p(\psi) \mu 不変量は自明)とLeopoldtの公式( s=1 のp進L函数の特殊値は、p進対数関数によってかける)に触れた

3/9:代数的側面と解析的側面の関係(岩澤主予想)

  • 円分岩澤主予想の定式化を行った.
  • ついに岩澤主予想だ!!!うおおおおお!!!
  • 円分岩澤主予想の定式化:
    • Dirichlet指標を  \mathbb{Q} の有限次アーベル拡大のガロワ群の指標とする.
    •  K_{\eta} \eta に対応する体とし, K_{\eta, \infty}^{\cyc} K_\eta の円分  \zp 拡大とする.
    • 二種類の不分岐拡大を定義:
      •  L_{\eta, \infty}^{\cyc} を「到る所不分岐かつアーベルな最大pro- p拡大」とする
      •  M_{\eta, \infty}^{\cyc} を「 p の外で不分岐かつアーベルな最大pro- p拡大」とする(こっちのほうがでかい拡大)
    • 対応するガロア群を定義する:
      •  X_{K_{\eta, \infty}^{\cyc}} = {\rm Gal}(L_{\eta, \infty}^{\cyc}/K_{\eta, \infty}^{\cyc}) (こっちはねじれ  \Lambda_{\cyc} 加群)
      •  \mathfrak{X}_{K_{\eta, \infty}^{\cyc}} = {\rm Gal}(M_{\eta, \infty}^{\cyc}/K_{\eta, \infty}^{\cyc}) (こっちはねじれ  \Lambda_{\cyc} 加群ではない)
    •  (-) 版岩澤主予想
      •  \psi を導手が  Np^e \psi(-1) = 1 であるDirichlet指標とすると以下が成り立つ

 {\rm char}_{\Lambda_{\cyc, \psi}}\left(X_{K_{\omega \psi^{-1}, \infty}^{\cyc}}\right)_{\omega \psi^{-1}} = \left(L_p(\psi) \right) \;\;\;\;\;\;\;\; (\psi \neq \mathbf{1})

    •  (+) 版は次回( \mathfrak{X}_{K_{\eta, \infty}^{\cyc}} がねじれ加群とは限らないので,ポントリャーギン双対をとらないといけない?)

雑感

  • ようやくColeman写像によるp進L函数の構成がおわった。正確にいうと「終わらせた」という感じに近くて、証明の流れはほとんどよくわかっていない。
  • 記号が難しくて飲み込みづらかったのと、構成までの過程が長くて全体像をつかむのが難しかった。全体像は最後の説明で、多少はわかった気がしないでもないので、もう一度 3.2.4 の最初から見直した方が良さそう。。。

雑感2(3/9)

  • と思っていたら急にわかってきたのでまとめなおしてみる!
    •  L(\eta, s) の特殊値(すなわち,ベルヌーイ数  B_{r, \eta})の母函数  f_{\eta}(z) とは 3.2.2 で次のように定義されていた; \displaystyle f_{\eta}(z) := \sum_{i=1}^{N}\frac{\eta(i) ze^{iz}}{e^{Nz} - 1} = \sum_{r=0}^{\infty} B_{r, \eta}\frac{z^r}{r!}
      • ここから  B_{r, \eta} を取り出すには, r 回微分して  z = 0 をとればいい。
    • さて,ここで  G_{\mathbf{u}}(Z) = \log(F_{\mathbf{u}}(Z) ) と定義されており(対数をとっただけ),この  G D r-1 回作用させる。 D Z = e^z - 1 とすると実質的に  \frac{d}{dz} と同じになる。
      •  N = 1 のとき  \displaystyle F_{\mathbf{u}}(Z) = \frac{(1+Z)^a - 1}{(1+Z) - 1} であったことを思い出そう( Z のわかりやすい有理函数の形になっている)
      • これがコールマン写像であることを確認するには, F_{\mathbf{u}}(Z) Z =\zeta_{p^{n+1}} - 1 を代入してみれば良い。
      •  \displaystyle F_{\mathbf{u}}(\zeta_{p^{n+1}} - 1) = \frac{(1+(\zeta_{p^{n+1}} - 1))^a - 1}{(1+(\zeta_{p^{n+1}} - 1)) - 1} = \frac{\zeta^a_{p^{n+1}} -1}{\zeta_{p^{n+1}} -1} = u_n(a) となって,ノルム系の数列が取り出せる(すなわち, F_{\mathbf{u}}(Z) (u_n(a))_{n\geqq 0} の母函数になっていたのだ)。
    • ここで, L_p(\psi) = \psi\omega^{-1}\left( \frac{1}{(1-\langle a \rangle \psi(a)\gamma(a)^{-1})} \iota \left(D (\Xi(a)) \right) \right) に数論的指標  \kappa^{1-r}\phi を適用して計算していく
    •  Z = e^z - 1 とすると, f_{\eta}(z) にそっくりな項を  \frac{d}{dz} r-1 回微分する形の式がでてくる。
    •  r-1 回微分して  z = 0 とすると、 B_{r-1, \eta} が飛び出す!という流れだ


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現在の進捗状況と目標ページ数の比較

とにかく止めないで先に進むことを念頭に入れて進めたので、今回の節のペースは若干早かった。おかげで少しペースを取り戻しつつある。