朝岩澤理論７：岩澤理論とその展望（上）

tsujimotter-sub.hatenablog.com

の第７週目（なかなかしんどい週だった）。

ポイントをまとめていく。あくまで自分のメモ用です。

第７週目（2017/3/3 〜 3/9）

3/3：Coleman写像によるp進L函数の構成（3.2.4）（つづき）

（あとで全体像を理解してから書いているメモ） $\newcommand{\zp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\cyc}{{\rm cyc}}$
加群の自己準同型写像をで定義した。
- これはあとでわかるが単なる微分を考えている。 $Z = e^z - 1$ を代入して変数変換すると， $D \mapsto \frac{d}{dz}$ となる
$\left( 1 - \frac{\varphi}{p}\right) \circ \log$ によって定まる $\zp[ \Delta_N ]$ の完全列を示した

3/4：Coleman写像によるp進L函数の構成（3.2.4）（つづき）

あとでまとめる

3/5：Coleman写像によるp進L函数の構成（3.2.4）（つづき）

あとでまとめる

3/6：Coleman写像によるp進L函数の構成（3.2.4）（つづき）

ノルム系から $\zp[\Delta_N][[G_{\cyc}]]$ への写像（Coleman写像の合成写像）の完全系列を作った（Thm3.54）。
以上の写像の像の元として Stickelberger 元を定義した
Stickelberger元に指標を適用して，ガウス和をかけたものを考えた
次回からp進L函数の別構成がはじまるらしい

3/7：Coleman写像によるp進L函数の構成（3.2.4）（つづき）

ようやくp進L函数の構成ができた
$\displaystyle L_p(\psi) = \psi \omega^{-1}\left(\frac{1}{hoge}\iota\left(D(\Xi(a))\right)\right)$
$\displaystyle \Xi(a) \cdot (1+Z) = \left( 1-\frac{\varphi}{p} \right) (G_{\mathbf{u}(a)}(Z))$
$\Xi(a) \cdot(1+Z)$ に関係するのは補題3.55か
$\mathbf{u}(a)$ はノルム系（補題3.46で具体例を与えたもの）

3/8：Coleman写像によるp進L函数の構成（3.2.4）（つづき）

これまでの構成の手順をまとめた
- (A) 円単数のノルム系 $\mathbf{u} \; \Longrightarrow^{(1)} \;$ Colemanべき級数 $F_{\mathbf{u}}(Z) \; \Longrightarrow^{(2)} \;$ $\zp[\Delta_N][[\Gamma_{\cyc}]]$ の元
- (B) $F_{\mathbf{u}}(Z) \big|_{Z = e^{z} - 1}$ の対数微分が $L(\eta, s)$ の特殊値の母函数 $f_{\eta}(z)$ と「ほぼ等しい」
$(A)(1)$ の箇所を省いてもp進L函数の新しい構成はできるが、 $(A)(1)$ のステップを挟むことで、p進L函数と円単数が結びつき、岩澤主予想の円単数のEuler系を用いた証明に使えるらしい。
わからない点：
- 「対数微分」「母函数」と言っている部分はどこのことを指しているのだろう
- 『 $F(Z)\big|_{Z=e^z - 1}$ の対数微分が $L(\eta, s)$ の特殊値の母函数 $f_{\eta}(z)$ と「ほぼ等しい」 $F(Z)$ が 3.2.2 項ですでに直接構成されている』らしいのだが、それはいったいどの話であろうか
- あ、わかったかも！！！
Ferrero-Washingtonの定理（ $L_p(\psi)$ の $\mu$ 不変量は自明）とLeopoldtの公式（ $s=1$ のp進L函数の特殊値は、p進対数関数によってかける）に触れた

3/9：代数的側面と解析的側面の関係（岩澤主予想）

円分岩澤主予想の定式化を行った．
ついに岩澤主予想だ！！！うおおおおお！！！
円分岩澤主予想の定式化：
- Dirichlet指標を $\mathbb{Q}$ の有限次アーベル拡大のガロワ群の指標とする．
- $K_{\eta}$ を $\eta$ に対応する体とし， $K_{\eta, \infty}^{\cyc}$ を $K_\eta$ の円分 $\zp$ 拡大とする．
- 二種類の不分岐拡大を定義：
  - $L_{\eta, \infty}^{\cyc}$ を「到る所不分岐かつアーベルな最大pro- $p$ 拡大」とする
  - $M_{\eta, \infty}^{\cyc}$ を「 $p$ の外で不分岐かつアーベルな最大pro- $p$ 拡大」とする（こっちのほうがでかい拡大）
- 対応するガロア群を定義する：
  - $X_{K_{\eta, \infty}^{\cyc}} = {\rm Gal}(L_{\eta, \infty}^{\cyc}/K_{\eta, \infty}^{\cyc})$ （こっちはねじれ $\Lambda_{\cyc}$ 加群）
  - $\mathfrak{X}_{K_{\eta, \infty}^{\cyc}} = {\rm Gal}(M_{\eta, \infty}^{\cyc}/K_{\eta, \infty}^{\cyc})$ （こっちはねじれ $\Lambda_{\cyc}$ 加群ではない）
- 版岩澤主予想
  - $\psi$ を導手が $Np^e$ の $\psi(-1) = 1$ であるDirichlet指標とすると以下が成り立つ

${\rm char}_{\Lambda_{\cyc, \psi}}\left(X_{K_{\omega \psi^{-1}, \infty}^{\cyc}}\right)_{\omega \psi^{-1}} = \left(L_p(\psi) \right) \;\;\;\;\;\;\;\; (\psi \neq \mathbf{1})$

- $(+)$ 版は次回（ $\mathfrak{X}_{K_{\eta, \infty}^{\cyc}}$ がねじれ加群とは限らないので，ポントリャーギン双対をとらないといけない？）

雑感

ようやくColeman写像によるp進L函数の構成がおわった。正確にいうと「終わらせた」という感じに近くて、証明の流れはほとんどよくわかっていない。
記号が難しくて飲み込みづらかったのと、構成までの過程が長くて全体像をつかむのが難しかった。全体像は最後の説明で、多少はわかった気がしないでもないので、もう一度 3.2.4 の最初から見直した方が良さそう。。。

雑感２（3/9）

と思っていたら急にわかってきたのでまとめなおしてみる！
- の特殊値（すなわち，ベルヌーイ数）の母函数とは 3.2.2 で次のように定義されていた；
  - ここから $B_{r, \eta}$ を取り出すには， $r$ 回微分して $z = 0$ をとればいい。
- さて，ここでと定義されており（対数をとっただけ），このにを回作用させる。はとすると実質的にと同じになる。
  - $N = 1$ のとき $\displaystyle F_{\mathbf{u}}(Z) = \frac{(1+Z)^a - 1}{(1+Z) - 1}$ であったことを思い出そう（ $Z$ のわかりやすい有理函数の形になっている）
  - これがコールマン写像であることを確認するには， $F_{\mathbf{u}}(Z)$ に $Z =\zeta_{p^{n+1}} - 1$ を代入してみれば良い。
  - $\displaystyle F_{\mathbf{u}}(\zeta_{p^{n+1}} - 1) = \frac{(1+(\zeta_{p^{n+1}} - 1))^a - 1}{(1+(\zeta_{p^{n+1}} - 1)) - 1} = \frac{\zeta^a_{p^{n+1}} -1}{\zeta_{p^{n+1}} -1} = u_n(a)$ となって，ノルム系の数列が取り出せる（すなわち， $F_{\mathbf{u}}(Z)$ は $(u_n(a))_{n\geqq 0}$ の母函数になっていたのだ）。
- ここで， $L_p(\psi) = \psi\omega^{-1}\left( \frac{1}{(1-\langle a \rangle \psi(a)\gamma(a)^{-1})} \iota \left(D (\Xi(a)) \right) \right)$ に数論的指標 $\kappa^{1-r}\phi$ を適用して計算していく
- $Z = e^z - 1$ とすると， $f_{\eta}(z)$ にそっくりな項を $\frac{d}{dz}$ で $r-1$ 回微分する形の式がでてくる。
- $r-1$ 回微分して $z = 0$ とすると、 $B_{r-1, \eta}$ が飛び出す！という流れだ