円分体の類数（相対類数）を調べたときのメモ

Wikipedia

Cyclotomic field - Wikipedia
円分体 - Wikipedia

相対類数 (OEIS)

素数 p に対して
A000927 - OEIS
100 までの素数
https://oeis.org/A000927/b000927.txt
一般の n に対して
A061653 - OEIS
n = 162 まで
https://oeis.org/A061653/b061653.txt

Wikipediaによると相対類数とは，

$\#{\rm Cl}(\mathbb{Q}(\zeta_p)) = h_p^{-}h_p^{+}$

と書いたときの， $h_p^{-}$ のこと。 $h_p^{+}$ は実類数といって，最大実部分体 $\mathbb{Q}(\zeta_p + \zeta_p^{-1})$ の類数だそうです．ちなみに，最大実部分体はその名のとおり， $\mathbb{Q}(\zeta_p + \zeta_p^{-1}) = \mathbb{Q}(\zeta_p)\cap \mathbb{R}$ の関係にある．

円分体の類数 $\#{\rm Cl}(\mathbb{Q}(\zeta_p))$ が素数 $p$ で割れるとき， $h_p^{-}$ も $p$ で割れる（逆も成り立つ）ので， $p$ -部分の解析においては相対類数は重要．

こっちが類数？の一覧と思われる (OEIS)

A055513 - OEIS

変わり種。類数１のみ（素因数分解が一意な UFD）。

A005848 - OEIS

以下のページの結果が役に立ちました．10000までの $p$ -分体の相対類数 $h_p^{-}$ が得られます．

Tables

REL-SUBF.gz という gzip ファイルに圧縮されています（圧縮の必要ある？）

データ形式がひどいので（なぜか十六進），整形する必要あり．以下の Ruby コードを使った．

# http://algo.epfl.ch/~amin/TAB.html
# よりダウンロードした REL-SUBF.gz を解凍したファイル SUBF-3-10000 を読み込んで， cl.csv を作成する Ruby コード
# 
# 出力形式:
# [素数 p],[相対類数 h_p]
# 

cl_list = []

File.open("SUBF-3-10000") do |io|

	# 溜めておくバッファ
	str = []

	# 先頭行から数えて何行か
	i = 0

	# 16進法で書かれた　Cl_K を読んでいるとき 1, そうじゃないとき 0
	state = 0

	# 現在の素数 p
	p = 0


	io.each do |line|

		if line.length == 1 then
			cl = str.join.split(" ").join

			cl_list << [p, "0x#{cl}".to_i(16)]
			#puts cl

			i = 0
			state = 0
			str = []

		else
			if i == 0 then
				a = line.split(" ")
				p = "0x#{a[0]}".to_i(16)
				#print "#{p},"

			else 
				if i >= 2					
					if i==2 
						state = 1
						str << line 

					elsif state == 1
						if line[0] == " "
							state = 0
							str.pop

						else
							str << line #.split(" ").join	
						end
					end

				end

			end
			i += 1
		end

	end

end


File.open("cl.csv", "w") do |io|
	cl_list.each do |tuple|
		io.puts "#{tuple[0]},#{tuple[1]}"
	end
end