「最近興味あること」で書いた「虚数乗法論」について記事を公開することができて嬉しい。
自分なりの学び方として、Sagemathを使って具体例を計算するところを示せたのがよかったと思う。それによって、例なしで学んでいた頃よりも理解度がかなり上がったと思う。というか当時は、具体例をまともに計算できるとは思っていなかったからね。
さて、上にあげた以外にも勉強したいものが増えてきました。
- 連分数とペル方程式
ゆるにじたいで の基本単数を求めよという問題があって、それをやっているうちに色々な基本単数を計算したくなってきました。
基本戦略はペル方程式 を解いて、正の基本単数の候補
を得る。整数環が
型のときにはそのままこれが基本単数となる。整数環が
型のときにはそのままではいかない。
なる
は、条件を考えると有限個であることがわかるので、それを調べればいい。
ペル方程式の解き方としては、 連分数を使った方法がある。実は連分数は学生時代から興味を持っていたテーマなので、久しぶりにそれを思い出して計算していたら楽しくなった。ペル方程式の解になっていることの証明を一通り追いかけて、まとめてみたい気持ちがあります。
- 虚数乗法の続き
（類数2）や
（類数3）に虚数乗法を持つ楕円曲線のケースで具体例を計算したい。というか既にしているけど、ブログにまとめたい。
これに付随して、やはり虚数乗法の理論について、真面目に解説したい。
虚数乗法を持つ楕円曲線の同型類を導入して、イデアル類群がここに作用する話とか。実際にヒルベルト類体を具体的に求める方法とか。
あとは、 に対するガロア群の作用を見ることで、虚数乗法を持つケースではアーベル拡大になる仕組みを説明したりとか（これはめっちゃやりたい。虚数乗法の面白いところが見れるので。）。
- 類体論について
類体論についても、もう少し初歩的なところから主張のぶぶんまでを解説する一連の流れを書きたい気持ちはある。どうしても今書きたい理由はあるけどここでは言わない。
- ラムゼー問題
数学ゴールデンをきっかけにラムゼー問題に興味を持って自分で考えたのが楽しかった。自分で考えてだんだんと答えに近づいていく過程が最高に面白くて、今まで答えを見てそれを理解するのが好きだったのだけど、初めて自分で考える面白さを覚えた。そういった楽しさを伝える記事を書きたい。
アプリも作ったり。
- グラハム数
実はグラハム数のグラハム問題はラムゼー問題の一種。これについては昔から知ってたけど、ラムゼー問題の頭になっていたのですごくスッキリ問題設定を理解できた。ちょっとこのタイミングで書きたい理由も出てきてしまったので（これはあまりポジティブな理由ではないけど）、書きたいな。
- 複素数の平方根について
これは既に記事にしたので、読んでくれた方もいると思う。これはほんとたくさんの方に見てもらったので、嬉しかった。
ただ一つ残念だったのが、リーマン面上で積を入れていた部分が、あまりよろしくない議論だった（通常しない議論）ことに気づいた点。もちろん、極座標に対して、ド・モアブルが成り立つように（無理やり）積を入れてあげれば、成立しそうだけども、普通はあまりこういうことをしないので。
この点を考慮して記事を修正しようと思うと、結局「リーマン面上では積の構造が入らないので、定義通り としてから積をとれ」という話にしかならないので、もともとの趣旨的にはつまらないなと思っている。
平方根を通して、多価関数の扱い方ってやっぱり面白いなと思えるようになってきたので、それはよかった。
- その他
最近、「ジョルダン曲線定理」について調べているときに、変な概念に出会った。何か病的な例になっているらしいんだけど、よくわかっていない。詳しい人がいたら教えてください。
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