楕円曲線のハッセの定理とL関数の絶対収束（訂正版）

（前の記事に大きな勘違いがあったので修正しました。）

楕円曲線 $E$ に付随するL関数

$\displaystyle L(E, s) = \prod_p \frac{1}{1 - a_p p^{-s} + p^{1-2s}} = \prod_p L_p(E, s)$

が絶対収束する条件について考えたい。ここで

$a_p = p + 1 - \# E_p(\mathbb{F}_p)$

であり、楕円曲線 $E$ の $\bmod{p}$ での還元を $E_p$ と表す。

なお、本当は良い還元を持つかどうかでオイラー因子の形が変わるのだが、今回は一旦無視する（良い還元を持つものだけに限定する）。

そもそも無限積における絶対収束の定義からおさらいしたい（前回はこれを理解していなかった）。

まず、数列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ に対して、任意の $n$ について $a_n \neq 0$ であるとき、無限積 $\prod_{n=1}^\infty a_n$ を次で定義する：

$\displaystyle \prod_{n=1}^\infty a_n = \lim_{n\to \infty} \prod_{k=1}^{n} a_k$

これが有限の値に収束するとき、無限積が収束するという。

特に

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$

が絶対収束するとき、無限積

$\displaystyle \prod_{n=1}^\infty (1+a_n)$

は収束する。このとき、無限積 $\prod_{n=1}^\infty (1+a_n)$ は絶対収束するということにする（絶対収束の定義）。

また

$\displaystyle \frac{1}{1 - a_n} = 1 + \frac{a_n}{1 - a_n}$

が成り立つことから、少し議論すると

$\displaystyle \sum_{n=1} a_n$ が絶対収束 $\displaystyle \;\; \Longrightarrow \;\; \prod_{n=1}^\infty \frac{1}{1 - a_n}$ が収束

も成り立つ。これも、右辺の形の無限積における絶対収束の定義としたい。

$L(E, s)$ における無限積の定義は素数 $p$ に対するオイラー因子 $L_p(E, s)$ を小さい順に並べて、順次掛け合わせたものとして定義される。

絶対収束の条件を求める上で、楕円曲線のハッセの定理（次式）が使える。

$|a_p| \leq 2\sqrt{p}$

なぜか。

唐突だが、オイラー因子 $L_p(E, s)$ の分母において $T = p^{-s}$ として

$F_p(T) = 1 - a_p T + p T^2$

という２次多項式を考える。この $F_p(T)$ が重根または相異なる虚数根を持つ条件を考えたい。これについては、判別式が負である条件を考えれば良い。

$|a_p|^2 - 4p \leq 0$

すなわち

$|a_p| \leq 2\sqrt{p}$

である。

つまり、こういうことである。

$|a_p| \leq 2\sqrt{p} \;\; \Longleftrightarrow \;\; F_p(T)$ が重根または相異なる虚数根を持つ

ハッセの定理（ $|a_p| \leq 2\sqrt{p}$ ）は真なので、 $F_p(T)$ が重根または相異なる虚数根を持つから

$F_p(T) = 1 - a_p T + pT^2 = (1 - \alpha_p T)(1 - \beta_p T)$

となるよう $\alpha_p, \; \beta_p$ とおく（重根の場合は $\alpha_p = \beta_p$ ）。

$F_p(T)$ は実係数多項式なので、 $\alpha_p, \beta_p$ は複素共役の関係にある。特に $|\alpha_p| = | \beta_p |$ が成り立つので、 $\alpha_p \beta_p = p$ より

$|\alpha_p| = |\beta_p| = p^{\frac{1}{2}}$

が言える。

$L(E, s)$ は

$\displaystyle \begin{align} L(E, s) &= \prod_{p} \frac{1}{F_p(p^{-s})} \\ &= \prod_{p} \frac{1}{(1-\alpha_p p^{-s}) (1-\beta_p p^{-s})} \end{align}$

と表すことができる。

したがって、無限積の絶対収束の定義を用いると

$\displaystyle \sum_{p} (|\alpha_p p^{-s}| + |\beta_p p^{-s}|) \tag{*}$

が収束する条件を考えれば良い。

先ほど得た $|\alpha_p| = |\beta_p| = p^{\frac{1}{2}}$ と

$|p^{-s}| = p^{-\operatorname{Re}(s)}$

であることから

$\displaystyle \begin{align} (\ast) &= \sum_{p} (|\alpha_p| |p^{-s}| + |\beta_p| |p^{-s}|) \\ &= \sum_{p} 2 p^{\frac{1}{2} - \operatorname{Re}(s)} \\ &= \sum_{p} \frac{2}{p^{ \operatorname{Re}(s) - \frac{1}{2} } } \\ &< \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{ \operatorname{Re}(s) - \frac{1}{2} }} \end{align}$

$\operatorname{Re}(s) > \frac{3}{2}$ ならば $\operatorname{Re}(s) - \frac{1}{2} > 1$ であり、このとき

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{ \operatorname{Re}(s) - \frac{1}{2} }}$

が収束する（リーマン・ゼータ関数）ことから、最後の級数（各項を2倍したもの）も収束する。

２つの数列 $(a_n)_{n=1}^{\infty}, \; (b_n)_{n=1}^{\infty}$ に対し、任意の $n$ について $a_n \geq 0, \; b_n \geq 0$ であり、ある $M$ が存在して $a_n \leq M b_n$ であるとする。このとき、 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ が収束するならば $\sum_{n=1}^\infty a_n$ も収束する。

を使っている。
https://www1.doshisha.ac.jp/~kmizoha/analysis1/Lecture10.pdf

以上により

$\displaystyle \operatorname{Re}(s) > \frac{3}{2} \;\; \Longrightarrow \;\; L(E, s)$ は絶対収束

が得られる。

これが必要十分条件になっている、というような記述をどこかで見つけた気がするのだけど、本当なのだろうか？　本当だとしてどうやって証明したら良いだろうか？
（というのも、上では変形の過程でいくつか不等式評価をしてしまっているので、そのままではうまくいかない気がする・・・）

参考

https://genkuroki.github.io/documents/Calculus/02%20series.pdf

http://www.gem.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/2015/sotsuron_2015_ezoe.pdf

Motoo Tange's Blog: 無限積について

ここで書いたのと違う方針だけど、ディリクレ級数の形に直して計算する方法があった。下の方が筋がいいのかも。
http://www.math.columbia.edu/~phlee/CourseNotes/L-functions.pdf

別の方法

もう少し直接的に評価する方法もあったのでまとめてみる。無限積

$\displaystyle L(E, s) = \prod_p \frac{1}{1 - a_p p^{-s} + p^{1-2s}} = \prod_p L_p(E, s)$

が絶対収束することの定義は

$\displaystyle \sum_p (a_p p^{-s} - p^{1-2s})$

が絶対収束することだった。

$\displaystyle \begin{align} \sum_p |a_p p^{-s} - p^{1-2s}| &= \sum_p |p^{-s}| |a_p - p^{1-s}| \\ &= \sum_p |p^{-s}| (|a_p| + |p^{1-s}|) \\ &\leq \sum_p p^{-\operatorname{Re}(s)} (2p^{\frac{1}{2}} + p^{1-\operatorname{Re}(s)}) \\ &= \sum_p p^{\frac{1}{2}-\operatorname{Re}(s)} (2 + p^{\frac{1}{2}-\operatorname{Re}(s)}) \\ &< \sum_p \frac{3}{p^{\operatorname{Re}(s) - \frac{1}{2}}} \\ &< \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3}{n^{\operatorname{Re}(s) - \frac{1}{2}}} \end{align}$