tsujimotterの下書きノート

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特定の虚数乗法を持つような楕円曲線を作る方法

数学 備忘録

一つ前の記事と紛らわしいが、虚2次体 K の整数環 \mathcal{O}_K が与えられたとき、自己同型環が

\text{End}(E) \simeq \mathcal{O}_K

となるような楕円曲線 E を作ることができる。参考は、楕円曲線論概説（上）のp.121を読むこと。

\newcommand{\a}{\mathfrak{a}} \a を 0 でない K の分数イデアルとする。埋め込み \a \subset K \subset \mathbb{C} によって、 \a を \mathbb{C} の格子とみなす。

そもそも \mathbb{C} の格子 \Lambda \subset \mathbb{C} の定義は、 \mathbb{C} の離散部分群で、 \mathbb{C} の \mathbb{R}-基底を持つものであった。

虚2次体に対しては \a が階数 2 の \mathbb{Z} 加群であって

\a = \mathbb{Z}\omega_1 + \mathbb{Z}\omega_2

とかける。また、 \a \not\subset \mathbb{R} であり、格子の条件を満たす。

よって、その自己準同型環が

\begin{align} \text{End}(E_\a) &\simeq \{ \alpha \in \mathbb{C} \mid \alpha \a \subset \a \} \\ &= \{ \alpha \in K \mid \alpha \a \subset \a \} \\ &= \mathcal{O}_K \end{align}

１行目から２行目の変形は、 \a \subset K であることからわかる（ K 以外の元をかけると K を飛び出してしまう）。２行目から３行目の変形は、 \a は分数イデアルということからわかる（分数イデアルは、整イデアルに K の元をかけたものである。よって、整数環の元をかけても元の集合の中に戻ってくる）。

よって、 \text{End}(E_\a) \simeq \mathcal{O}_K であるような楕円曲線 E_\a を得ることができた。


構成から分かるように、同じ虚数乗法を持つ楕円曲線は（同型のことを考えなければ）分数イデアルの数だけ作ることができる。