メモ：フェルマーの2平方定理の環論的な証明

素数と2次体の整数論の勉強会「ゆるにじたい」をしている際に、ふと数学漫画「数字であそぼ」の話題になりました。

5巻で「フェルマーの2平方定理」の証明が載っていたのですが、その証明は我々が勉強していたものとは違うものでした。せっかくなので、それを復元してみようという話に。

フェルマーの2平方定理は、 $p$ を $2$ ではない素数としたとき、次が同値であるというものです。

$p \equiv 1 \pmod{4} \;\; \Longleftrightarrow \;\;$ 整数 $x, y$ が存在して $p = x^2 + y^2$

この環論的な証明について考えてみました。（正しいかどうかは自信ない）

$\begin{align} p \equiv 1 \pmod{4} \;\; &\Longleftrightarrow \;\; 4 \mid (p-1) = \mathbb{F}_p^\times \\ &\Longleftrightarrow \;\; \text{巡回群}\;\mathbb{F}_p^\times \; \text{は位数4の元を持つ} \\ &\Longleftrightarrow \;\; x\in \mathbb{F}_p^\times \; \text{が存在して}\; x^2 + 1 = 0 \\ &\Longleftrightarrow \;\; x^2 + 1 \; \text{は}\;\mathbb{F}_p\; \text{上可約} \\ &\Longleftrightarrow \;\; \mathbb{F}_p[X]/(X^2 + 1) \; \text{は整域でない} \\ &\Longleftrightarrow \;\; \mathbb{Z}[X]/(p, X^2 + 1) \; \text{は整域でない} \\ &\Longleftrightarrow \;\; \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]/(p) \; \text{は整域でない} \\ &\Longleftrightarrow \;\; p = \pi \pi', \;\; \pi \; \text{は} \; \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] \; \text{の素元} \\ &\Longleftrightarrow \;\; p = x^2 + y^2 \; \text{なる整数} \; x, y \; \text{が存在} \end{align}$

結構いろんな事実を使っていますね。

有限体 $\mathbb{F}_p^\times$ の乗法群は巡回群（「原始根定理」あるいは「体の乗法群の任意の有限部分群は巡回群」）
巡回群の位数 $n$ が $d\mid n$ のとき、位数 $d$ の元が存在（生成元 $g$ に対して、 $g^\frac{n}{d}$ とすればよい）
体 $K$ 上の多項式環 $K[X]$ において、 $f$ が既約元ならば素元
$\mathfrak{p}$ が環 $R$ の素イデアル $\;\; \Longleftrightarrow \;\; R/\mathfrak{p}$ は整域
$\mathbb{F}_p[X]/(X^2 + 1) \simeq \mathbb{Z}[X]/(p, X^2 + 1) \simeq \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]/(p)$