私の日曜数学活動をサポートしてくれているパートナーから以下のような趣旨の質問をもらった。
（4n+1型の素数が必ず２つの平方数の和でかけるが）4n+1型の合成数は２つの平方数の和で表せるのか？
これについては実はあまり深く考えたことがなかった。とてもするどい質問だと思った。
答えは「できるときとできないときがある」だ！
たとえば，"57" という数は
で 型であるが，２つの平方数の和で表すことができない。*1
一般に，合成数が２つの平方数の和で表せる必要十分条件は，以下のとおりである。
ある正の整数が２つの平方数の和でかけるのは，素因数に 2 か 4n+1 型素数だけを持つときか，すべての 4n+3 型素因子の指数が偶数のときだけである。
実にややこしい条件だ。要するにいいたいことは，指数が奇数となるような 4n+3 型素因数が１つでも入ってしまうとアウトだ，ということ。２つの平方数の和で表すことができない。
このことは以下の流れで示すことができる。
まず，以下の補題を考える。
かつ
ならば，
は
の形ではかけない
もし， が上の形でかけるならば，
となるはずであるが， より
である。したがって，
となる
が存在するから，
である。これより，
となるから， は
の平方剰余である。しかし，
であるからそんなわけがない。補題証明終了。
続いて次を示す。
（すなわち，
は
の指数）で，
の形ではかけない
とし，
と仮定する。
を割り切る
の最高べきを
とする。すると，
とおいて，
とできる。 を割り切る
の最高べきの指数は
の分を
から引いたものだから，
。 c は奇数より
である。つまり，
は
を割り切る。ゆえに，
となってしまい，これは先の補題に反する。したがって， は偶数でなければならない。
以上より，「指数が奇数となるような 4n+3 型の素因数が１つでも入ってしまうと，２つの平方数の和で表せない」ことがわかる。 型素数は素因子に入っていてもいいが、平方数でなければならない。
次に示すのは，「 型の素数か 2 か
型素数の平方数（すべて
で表せる数）を掛け合わせてできた数は，必ず
の形で表せる」ということだ。
これが実に面白い。高校生で習う以下の恒等式を使う。
ブラーマグプタの恒等式：
左辺は任意の 型の２数の積で，右辺はこれが再び
の形であらわせることを意味している。
フェルマーの二平方定理より，4n+1 型の素数は，必ず の形であらわせる。
は
となって，明らかに２つの平方数の和で表せる。また， 型素数も，その平方をとれば，
となり，無理やり２つの平方数の和で表せる。
これらを用いると，目的の「 型の素数か 2 か
型素数の平方数（すべて
で表せる数）を掛け合わせてできた数は，必ず
の形で表せる」が言える。
以上で証明終了だ。QED.
「ブラーマグプタの恒等式」は高校１年のときに，式の展開や因数分解って，応用編として唐突に登場した覚えがある。まさかこんな形で証明に利用できるほど，有能な恒等式だったとは。
今回の話の結論としては，ようするに「一般の についての問題は，
の素因数に分解し，それぞれの素数の問題に帰着できる（場合がある）」ということだ。だから，素数がどういう形で表せる数なのか，素数の法則は何か，ということが本質的になってくるわけだ。まさに，「素数は数の元素」である。
せっかくなので，１から１００までで，平方数の和で書ける数を具体的に列挙してみよう。ちゃんとルールどおりなっているか，確認してみてほしい。
赤字 は 型の素数であるが，この指数はちゃんと偶数になっているだろう。
余談
この記事は３回ぐらい書き直してます。これぐらい簡単に示せるだろう、とたかをくくっていたら、意外とまとまらず。どうしてもあーでもないこーでもない書き直して、最終的に以下の文献をみて解決しました。勘違いしていた部分も多々みつかって、大変勉強になりました。
参考文献
- 作者: G.H.ハーディ,E.M.ライト,Godfrey Harold Hardy,Edward Maitland Wright,示野信一,矢神毅
- 出版社/メーカー: シュプリンガー・フェアラーク東京
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*1:グロタンディーク "素数" なのに！
