「重さ1」の保型形式に対する疑問 - tsujimotterの下書きノート

tsujimotter-sub.hatenablog.com

このメモ書きを書いていて気づいたことがある。

$-I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ による $f$ への重さ $k$ の作用は

$f(z)| [-I]_k = (-1)^k f(z)$

である。

ということは、今考えている合同部分群 $\Gamma \subset \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対し、 $-I \in \Gamma$ であれば、 $\Gamma$ に対する重さ $k$ の保型形式は

$(-1)^k f(z) = f(z)$

を満たさなければならない。重さ $k$ が奇数なら、 $f(z) = 0$ になってしまう。

ところで、伊藤先生の記事によると

$f(z) = \eta(z)\eta(23z) = q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^n)(1-q^{23n})$

は重さ $1$ 、レベル $23$ の保型形式らしい。これがレベル $23$ であることはイータの保型性からすぐわかる。問題は、いったいどの合同部分群に対する保型形式なのかというのが疑問点である。

というのも、重さが $1$ で奇数なので、今考えている合同部分群に $-I$ が入ってはいけない。

レベル $N$ の合同部分群といえば、 $\Gamma_0(N)$ かなと思ったけど

$\Gamma_0(N) := \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \mid c \equiv 0 \pmod{N} \}$

明らかに $-I \in \Gamma_0(23)$ なので、 $\eta(z)\eta(23z)$ は $\Gamma_0(23)$ の保型形式ではないはずだ。

ということは、 $\Gamma_1(23)$ か？　それとも $\Gamma(23)$ か？　どれだろう・・・。

もしご存知の方がいたら教えてください。

なお定義は

$\Gamma_1(N) := \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \mid a \equiv 1, c \equiv 0, d \equiv 1 \pmod{N} \}$

$\Gamma(N) := \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \mid a \equiv 1, b \equiv 0, c \equiv 0, d \equiv 1 \pmod{N} \}$

であり、こういう包含関係がある：

$\Gamma(N) \subset \Gamma_1(N) \subset \Gamma_0(N) \subset \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$

伊藤哲史「平方数の和で表される素数について」城咲新人セミナー
https://drive.google.com/file/d/1RrC0WG676Hv3k2W0pfK6LY00hiC0kaR0/view

追記

こういうのを見つけた。
https://mathoverflow.net/questions/33058/eta-products-and-modular-elliptic-curves

あんまりわかってないけど、 $\eta(z)\eta(23z) \in S_1(\Gamma_0(23), \; \left(\frac{\cdot }{23}\right))$ と考えるのか。 $\Gamma_0(23)$ だけど指標付き？

さらに追記

コブリッツによれば、 $\Gamma_1(N)$ の保型形式（ $\Gamma_0(N)$ ではないことがポイント）であって、 $\gamma \in \Gamma_0(N)$ の作用が

$f| [\gamma] = \chi(d) f$

であるもの全体を $M_k(\Gamma_0(N), \chi)$ というらしい。ははーんなるほど。

$\Gamma_0(N)$ ではないんだけど、 $\Gamma_0(N)$ の作用がせいぜい指標 $\chi$ でずれているものを表すわけだな。そういうことか。

指標の直和で保型形式の空間 $M_k(\Gamma_1(N))$ を分解しているわけだ：

$M_k(\Gamma_1(N)) = \bigoplus_{\chi} M_k(\Gamma_0(N), \chi)$

ってことは、上のエータ積は $\eta(z)\eta(23z) \in S_1(\Gamma_1(23))$ と書いて問題なさそうだな。もっとさらにいえば、 $\eta(z)\eta(23z) \in S_1(\Gamma_0(23), \; \left(\frac{\cdot }{23}\right))$ ということなんだろう。