tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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朝岩澤理論１１：岩澤理論とその展望（上）

朝岩澤理論

tsujimotter-sub.hatenablog.com

の第１１週目。

ポイントをまとめていく。あくまで自分のメモ用です。

第１１週目（2017/4/1 〜 2017/4/7）

4/1：Euler系を用いた方法による証明（3.3.3）

Stickelbergerの定理
- Stickelberger元をアーベル体の分数イデアルに作用させると単項イデアルになる。つまり、イデアル類群を零化する
- この逆極限をとると、 $x\in (X)_{\omega \psi^{-1}}$ は $L_p(\psi)\Lambda_\psi \cap \Lambda_{\psi}$ で消される

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「重複度１予想」を仮定すると版岩澤主予想が導ける
- 以下、雑に照明の流れを追う
- Ferrero-Washintonの定理（ $\mu = 0$ ）から $X_{\omega \psi^{-1}}$ は $\Lambda_{\psi}$ の $(p)$ を割らない高さ１の素イデアルの積でかける
- 構造定理により、線形写像 $X_{\omega \psi^{-1}} \to \Lambda_{\psi}/\mathfrak{p}$ は有限な余核を持つ
- Stickelbergerの定理により、p進L函数は $\Lambda_{\psi}/\mathfrak{p}$ を零化する
- $(L_p(\psi)) \subset {\rm char}X_{\omega \psi^{-1}}$ を得る
「Greenberg予想」を仮定すると版岩澤主予想が導ける
- Greenberg予想（ $X$ は有限アーベル群）を仮定すると、 $X$ は擬零加群で有限アーベル群。
- あとは４項完全列よりわかる
Stickelbergerすごいじゃないか！！！見直したぞ！！！

4/2：総実代数体のアーベル拡大の場合（3.4.1）

前章は $\mathbb{Q}$ 上の岩澤主予想を考えたが、ここでは

総実代数体上の $\zp$ 拡大におけるp進L函数の構成と岩澤主予想を定式化した。

オイラー因子が p の上の素イデアル分かかっている点を除けばほぼ同じ
指標での拡大と $\zp$ 拡大が共通部分を持たないことも条件

岩澤主予想を考えるためには指標をひねった部分を含んだ拡大を考える必要があって、それが定式化に影響している。指標をかけて考える必要

4/3：続きとCM体のアーベル拡大の場合（3.4.2）

総実代数体の問題について：
- Ferrero-Washinton の定理の類似は予想されている（p進L関数 $\mu = 0$ ）が未解決
- Leopoldt予想は未解決なので、４項完全列はつかえない
- IMCは「ヒルベルトモジュラー形式」を用いてMazur-Wilesの議論が使える。一方で、Euler系を用いた方法は知られていない（円単数に相当する単数が見つかっていない）
- pの外不分岐なアーベル拡大の合成をとして円分拡大の議論をについての議論に展開できる（のときは円分拡大なので、拡張になっている）
  - p進L函数は $\zp[\psi][[{\rm Gal}(\tilde{F}/F)]]$ の中に考えることができて、この集合から $\zp[\psi][[\Gamma_{\cyc, F}]]$ への全射がある
  - $\left(X_{\omega\psi^{-1}, \infty}^{\cyc}\right)_{\omega\psi^{-1}}$ の類似もある
CM体の場合
- CM体は大きな問題がある
- 総実でないの場合には、の有限指標に対して、L函数の負の整数点の値が0になってしまう。
  - Gamma Factorの零点・極からわかる
- したがって、円分 $\zp$ 拡大における非零なp進L函数が存在しない（やばい）
- もし $F$ がCM体を含むならば、円分 $\zp$ 拡大ではなく $F$ の $\zp$ 拡大すべての合成 $\tilde{F}_\infty$ において、ある程度自然な岩澤理論を考えることも可能

4/4：

あとでかく

4/5：

あとでかく

4/6，4/7：（お休み）

仕事で追い詰められていたのと，朝起きれなかったのでお休みしてしまいました。。。

雑感

あとで書く