「K上の」代数曲線 - tsujimotterの下書きノート

$I \subset \overline{K}[X]$ を多項式環のイデアルとする。多項式環なので $I$ は多項式のイメージ。ちなみに一変数っぽく書いているけど、 $\overline{K}[X] := \overline{K}[X_1, \ldots , X_n ]$ である。

ここで、多項式（イデアル）の $I$ 零点集合

$V_I = \{ P\in \mathbb{A}^n \mid f(P) = 0, \forall f \in I \}$

を考える。多項式の零点を集めた集合のことで、ようするに楕円曲線 $Y^2 - X^3 - aX - b = 0$ とか円 $Y^2 + X^2 - 1 = 0$ の解の集合みたいなものを考えたいということだ。

イデアルと零点の立場を逆転させてみよう。 $V$ を適当な代数的集合とする。 $V$ を零点にもつような多項式の集合を考える。

$I(V) = \{ f\in \overline{K}[X] \mid f(P) = 0, \forall P \in V \}$

これは $\overline{K}[X]$ のイデアルとなる。ようするに零点集合として $V$ を含むような多項式全部のせ。

さて、ここが一番重要だが $I(V)$ が $K[X]$ の元によって生成されるとき、 $V$ は $K$ 上定義されるという。このとき $V/K$ のように表す。「 $K$ 上定義される」というのはここからきていたのだ。

そもそも「生成される」とあるが、 $\overline{K}[X]$ は有限個の基底から生成されるのか？イエスだ。ヒルベルトがいっている。ヒルベルトの基底定理といって、 $\overline{K}[X]$ が有限生成であることが保証されている。これらが全部 $K$ 上の多項式になっていれば $K$ 上定義されるということだ。

例

円は $V : X^2 + Y^2 = 1$ を満たす $\overline{K}$ 上の代数的集合だ。 $f(X, Y) = X^2 + Y^2 - 1$ とすると、 $f(X, Y) \in \overline{K}[X]$ であり、 $V$ は $(f) = f\, \overline{K}[X, Y]$ の零点集合である。