tsujimotterの下書きノート

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j-函数に関するあれこれメモ

備忘録 数学

山本先生の「数論入門２（岩波講座現代数学への入門）」に、僕が知りたかった「楕円モジュラー関数」と「虚二次体」の話が、この上なくわかりやすく書いてあったので、ここにご報告します。

岩波講座 現代数学への入門〈5〉(9-10)数論入門1・2

岩波講座 現代数学への入門〈5〉(9-10)数論入門1・2

類数１の虚二次体におけるj函数の値は整数

「ラマヌジャン定数がほとんど整数である」に関する「虚二次体 \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) の類数が１なら j(\tau) は整数（ \tau = \frac{1+\sqrt{-d}}{2}）」の話について。

端折って説明すると：

  • 判別式 -d が等しく，対等な二つの２次無理数 \alpha, \beta はj関数値 j(\alpha), j(\beta) が等しい
  • 任意の二次無理数 \alpha は，判別式が等しい対等な二次無理数 \tilde{\alpha} が基本領域上に存在する。
  • 対等 \alpha \sim \beta という同値関係で，判別式 -d の２次の無理数の集合 A(-d) を割ると A(-d)/{\sim} となるが，このすべての類は基本領域上の数によって代表される。
  • 判別式 -d の無理数の類のj関数値 j(\alpha_1), \; j(\alpha_2), \; \cdots, \; j(\alpha_{h}) を根に持つ類多項式 P_{-d}(X) = \left(X - j(\alpha_1) \right) \left(X - j(\alpha_2) \right) \cdots \left(X - j(\alpha_h) \right) は整係数多項式となる。次数 h は判別式 -d の類数と同じ
  • もし類数１ならj関数値 j\left( \alpha \right) は整数
    • ２次無理数は一般に j\left( \alpha \right) は「代数的整数 \mathbb{A}」かつ類数１なら j\left( \alpha \right) \in \mathbb{Q} より \mathbb{A} \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Z} と考えても良い
  • 基本領域上の先ほどの無理数の類の中には必ず１つ \alpha =\frac{1+\sqrt{-d}}{2} 型の無理数が存在するので、 j\left( \frac{1+\sqrt{-d}}{2} \right) は整数になるというわけですね。あーすっきりした。
  • 疑問: 類多項式ってなんで整係数多項式になるのだろう。つまり虚二次体の整数環に対するj関数の値はなぜ代数的整数なのか。

K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23}) のヒルベルト類体

前から疑問だった K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23}) のヒルベルト類体 H/K が、なぜ

f(X)=X^3-X+1

の分解体になるのかもよくわかった。

K のヒルベルト類体 H/K は H = K\left( j \left(\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right) \right) で生成される。 j\left(\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right) の類多項式 P_{-23}(X) は以下のようになる：

P_{-23}(X) = X^3 + 3491750X^2 - 5151296875X + 12771880859375

あれ f(X) は？

一方で， f(X) の根 \alpha, \beta, \gamma を \mathbb{Q} に添加すると６次拡大 H'/\mathbb{Q} ができる。

f(X) の判別式

D = (\alpha - \beta)^2(\beta - \gamma)^2(\gamma - \alpha)^2 = -23

より，

(\alpha - \beta)(\beta - \gamma)(\gamma - \alpha) = \pm \sqrt{-23}

が得られるから， H'/\mathbb{Q} は K/\mathbb{Q} を含む拡大である。

少し考えると， H'/K は K の不分岐アーベル拡大であることがわかる。 H'/K は 6/2 = 3 次拡大（すなわち，類数と一緒）より， H' は最大不分岐アーベル拡大（すなわち，ヒルベルト類体）である。ヒルベルト類体の一意性より H = H' がわかる。

類多項式と類体論

類多項式って円分多項式にどこか似ているなぁと思った。

  • 円分多項式は「指数関数の特殊値の共役な組」を根に持つ整係数多項式で、類多項式は「楕円モジュラー関数の特殊値の共役な組」を根に持つ整係数多項式。
  • 類体論的には、どちらも大事なアーベル拡大を生成する。

ラマヌジャン定数との関連

j(\tau) \in M_{12} \big/ S_{12} の形していて， S_{12} はカスプ形式なので， q展開の定数項が0，つまり，少なくとも1位以上の極を持つ．

e^{\pi \sqrt{-d}} は j(\tau) の q 展開，

j(\tau) = q^{-1} + 744 + 196884q + O(q^3)

に \tau = \frac{1+\sqrt{-d}}{2} を代入すると得られる。 e^{\pi \sqrt{-d}} は q^{-1} に対応しているので，この係数が 1 になるように正規化すると，自然と 744 がでてくる。これが 744 の秘密。