tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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多項式の根の対称式

数学雑記

Twitter上でこんな問題があったので、メモがてらまとめてみます。

ax^2+bx+c=0の2解をα、βとするとき、(α+1)(β+1)の値を求めるのに展開し始めて、ちょいと待て！とw
— 河合祐介 (@tkawai18_tkawai) 2021年1月29日

2次多項式の根と係数

2次多項式 $ax^2 + bx + c$ の2根（重根でも可）を $\alpha, \beta$ としたときに、

$(\alpha + 1)(\beta + 1)$

を求めよ、という問題ですね。 $\alpha, \beta$ を入れ替えても対称な、対称式になっています。したがって、対称式の基本定理より、係数の四則演算で表せると言うのが背景にあるわけですね。

実際、展開すると $\alpha, \beta$ の基本対称式が得られるので、解と係数の関係により係数に置き換えていってもいいわけですが、もう少し賢い方法はないか？という話のようです。

ここでポイントになるのは、多項式が

$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$

のように展開できるということですね。これは解と係数の関係を導くために使う式ですが、これをこのまま使います。

両辺に $x = -1$ を代入すると

$a(-1)^2 + b(-1) + c = a(-1 - \alpha)(-1 - \beta)$

となりますが、右辺は $(-1)$ をくくり出すと

$a(-1 - \alpha)(-1 - \beta) = a(\alpha + 1)(\beta + 1)$

になります。したがって

$\displaystyle (\alpha + 1)(\beta + 1) = \frac{a - b + c}{a}$

となる、というのが今回の結論です。

右辺の分子が係数の交代和（プラスマイナスを交互にかけて足し合わせる）となっているのがポイントですね。

n次多項式への一般化

ふと思ったのですが、この話はそのまま $n$ 次多項式にも適用できそうですね。

実際、 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ とおいて、その（重複含む） $n$ 根を $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ とおきます。複素数の範囲まで広げれば、代数学の基本定理より重複度込みで $n$ 個の根を持ちますので、この仮定は十分一般的です。

このとき

$a_n(x - \alpha_1)\cdots (x - \alpha_n) = f(x)$

とおいて、 $x = -1$ とすれば

$(-1)^n a_n(\alpha_1 + 1)\cdots (\alpha_n + 1) = f(-1)$

となりますので

$\displaystyle (\alpha_1 + 1)\cdots (\alpha_n + 1) = \frac{(-1)^n f(-1)}{a_n}$

が導けました。

ここで $n$ が偶数であれば

$(-1)^n f(-1) = a_n - a_{n-1} + \cdots + a_2 - a_1 + a_0$

となるし、 $n$ が奇数であれば

$(-1)^n f(-1) = -a_n + a_{n-1} - \cdots + a_2 - a_1 + a_0$

となります。いずれにしても係数の交代和になりますね。

円分体の分岐

似たような話で、円分体の整数環 $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ で有理素数 $p$ が分岐すると言う話があります。
tsujimotter.hatenablog.com

多項式 $x^p - 1$ を有理係数の範囲で分解すると

$x^p - 1 = (x - 1)(x^{p-1} + \cdots + x + 1)$

とできますが、この $x^{p-1} + \cdots + x + 1$ を $p$ 次円分多項式といい、その根の1つを $\zeta_p$ と表します。

ところで、 $x^p - 1$ の根は $1$ の $p$ 乗根なので、 $1, \zeta_p, \zeta_p^2, \ldots, \zeta_p^{p-1}$ を根に持ちます。したがって

$x^p - 1 = (x - 1)(x - \zeta_p) \cdots (x - \zeta_p^{p-1})$

と分解されますね。すなわち、両辺 $x-1$ で割ると円分多項式が

$x^{p-1} + \cdots + x + 1 = (x - \zeta_p) \cdots (x - \zeta_p^{p-1})$

と分解されたことになります。

ここで先ほどと同じように、今度は $x = 1$ を代入すると

$p = (1 - \zeta_p) \cdots (1 - \zeta_p^{p-1})$

となります。これは、 $p$ が $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ において、 $p-1$ 個の整数の積に分解されたことを意味しますね。

イデアルで表すと

$(p) = (1 - \zeta_p) \cdots (1 - \zeta_p^{p-1})$

ということになります。また、 $\frac{1-\zeta_p^r}{1-\zeta_p^s}$ （ただし、 $r, s$ は $p$ と互いに素）が $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ の単数であることから、 $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ のイデアルとして

$(1-\zeta_p^k) = (1-\zeta_p)$

が成り立つことになります。したがって

$(p) = (1 - \zeta_p)^{p-1}$

なるイデアルの等式が成り立ちます。なお、 $[\mathbb{Q}(\zeta_p) : \mathbb{Q}] = p-1$ なので、 $n = efg$ の公式によって、上の式は $(p)$ が $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ において完全分岐することを意味します。特に $(1-\zeta_p)$ は素イデアルとわかります。

だいぶ話は込み入ってきましたが、最初に述べたような問題は一見高校数学の計算問題のようですが、たとえばこんな風な応用もあるんですよ、という紹介でした。