保型形式に対する「作用」についてのメモ書き

任意の $\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対して、 $f$ が

$\displaystyle f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)$

を満たすというのが、保型性の定義なわけです。

変数 $z$ に対する $\gamma$ の作用を、一次分数変換

$\displaystyle \gamma z := \frac{az+b}{cz+d}$

で定めます。このような変数の変化に対して、 $f$ がどのように振る舞うかというと、実は保型因子 $(cz+b)^k$ が飛び出てくるんだよ。僕はそういう理解だった。

しかしながら、たとえば $\gamma = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ を考えると話が違うなと思ったのです。というのも、この場合の $\gamma z$ は

$\displaystyle \gamma z = \frac{-z+0}{0z-1} = \frac{-z}{-1} = z$

になるので、 $f(\gamma z) = f(z)$ というのが保型性の式になるはずです。

ところが実際はこう：

$\displaystyle f\left(\frac{-z}{-1}\right) = (-1)^k f(z)$

変数 $z$ に対して $\gamma$ が作用しているっていうのは、これ根本的な勘違いだったんです。本当は $f$ 自身に対して $[\gamma]_k$ が作用していると考えるべき。

どういうことかというと、保型因子を移項して考えるのがいい。

$\displaystyle (cz+d)^{-k} f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = f(z)$

この左辺が、 $f$ に対する $[\gamma]_k$ の右作用だと考えるのです。

つまり、 $f$ に対する $[\gamma]_k$ の右作用 $f | [\gamma]_k$ を

$\displaystyle f(z) \mid [\gamma]_k := (cz+d)^{-k} f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)$

で定義する。この作用に対して $f$ が不変である、つまり

$\displaystyle f(z) \mid [\gamma]_k = f(z)$

が成り立つというのが保型性の定義だったんだ。

僕はてっきり $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ を $\pm I = \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{pmatrix}$ で割った群 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})/ \{\pm I\}$ が上半平面に一次分数変換として作用していて、この作用を通して関数の保型性をみるのだと思っていたのだ。本質的には一次分数変換で、モジュラー群そのものではない、と思い込んでいた。

ところが実際はモジュラー群 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ そのものが関数 $f$ に直接作用していたのだ。これには気づかなかった・・・。

コブリッツで小難しく書いてあったのを、難しいなわけわかんねえな、と思って読み飛ばしてしまった僕が悪かった。

実はもともとの方針としては、モジュラー群なんて概念は紹介するつもりもなかった。 $S\colon z \mapsto -\frac{1}{z}, T\colon z \mapsto z+1$ という「変数 $z$ に対する」２つの変換を考えて、これによって不変（からちょっとだけずれる）ものを保型形式の定義とする、というように説明するつもりだったのだ。