最近興味あること - tsujimotterの下書きノート

こっちのブログはほとんど読者はいないので、こっそり最近興味あることについて書きおきしておこうかなと思います。だいたいは、ある程度勉強して自分の中で理解は進んでいるのだけど、忙しくてブログにまとめられていない記事たち。

先に誰かに解説を書かれてしまうとモチベーションが下がってしまうので*1、こっそりみてね。Twitter等でシェアもしないようお願いします。

チョウラ＝セルバーグの公式

ガンマ関数 $\Gamma(a/n)$ の間の関係式について調べていたら見つけた公式。
正確にいうともっと前から梅崎さんの講演で知っていたんだけど、ガンマ関数の特殊値の間の関係式という見方はなかった。

$\mathbb{Z}_{(p)}$ における $\bmod{p}$ について

分数の足し算の約分を考えているときに出てきた話。分数の $\bmod{p}$ について、いかにして正当化するのかについて真面目にかきたい。

積分について

$\mathbb{R}$ 上の積分ならわかる。多様体もわかる、座標が $\mathbb{R}$ の元だから。
それ以外の集合の上での積分（たとえばアデール環上の積分）って、いったいどうやって定義できるんだろうという自分の昔からの疑問に答える記事。
測度を使ったらできるよという話について自分なりにまとめたい。
測度って、 $\mathbb{R}$ 上の変な部分集合について積分できるか、という限定的な問題にしか適用できない狭い概念だと勝手に思っていたのですが、そんなことはないんですね。

ディリクレ指標と1次元アルティン表現が「類体論により」一対一に対応する話

タイトルの通りですが、「類体論により」というところの意味をようやく理解できたのが嬉しい。
理解できていなかった最大の原因は、準同型定理がちゃんと理解できていなかったからだと言うことに気づきました。その辺りからかきたい。

ルート系とディンキン図形

先日の日曜数学会で、宇佐美さんからルート系の定義とディンキン図形の構成法について教えていただきました。実際に $A_2$ と $G_2$ のディンキン図形を構成して（初めて）ものすごく楽しかったので、できれば熱いうちに書きたい。

デカルトのだまし奇完全数

じゃいろさんがarXivの論文について紹介していたツイートで出てきたやつ。論文の中身より、このデカルトの見つけた数自体が面白そうだなと思った。

arXivに面白い論文が上がっていた．奇数の完全数の存在性は歴史的な未解決問題です．

Odd, spoof perfect factorizations
BYU Computational Number Theory Grouphttps://t.co/jI7fNBvb6L pic.twitter.com/wZEKWJAO6C
— じゃいろ67 (@maruroido2) 2020年6月19日

メイザーのねじれ定理とモジュラー曲線

$\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線のねじれ点の位数が $1, 2, \ldots, 10, 12$ に限定されるよという定理。これがなんとモジュラー曲線を使って議論できるのだというとても面白い話。
実はこの話に向かってモジュラー曲線のシリーズを進めてきたのだけど、しばらく更新が止まってしまっています。

ヘーグナー点と合同数

こちらもモジュラー曲線関連なのですが、モジュラー曲線の「ヘーグナー点」という面白い概念について紹介したいです。
モジュラー曲線はモジュラー性定理により楕円曲線と対応するわけですが、楕円曲線上のヘーグナー点に対応する点の位数が具体的に計算できてしまうというそそられる話がある。
これを使うと、合同数の判定ができてしまうという話についてかきたい。