tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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Ray class field

 \mathbb{Q} 上の Ray class field(円分体論)

 \mathbb{Q} \bmod{n} の Ray class field は,

 \mathbb{Q}(\mu_n)

となる.ただし, \mu_n n-等分点全体の集合.

虚2次体  K 上の Ray class field(虚数乗法論)

 K を虚2次体とし, E/\mathbb{Q} \mathcal{O}_K と同型な自己準同型環を持つ(虚数乗法を持つ)楕円曲線とする.このとき, K \bmod{\mathfrak{c}} における Ray class field は,

 K(j(E), h(E[\mathfrak{c}]))

となる.ただし, E[\mathfrak{c}]  E \mathfrak{c}-等分点全体の集合で, j(E) E の j-invariant, h(P) は Weber 関数.

 H = K(j(E)) とし  E: y^2 = x^3 + Ax + B, \; A, B\in H としたとき, E/H に対する Weber 関数  h : E \to E/\mathrm{Aut}(E) \simeq \mathbb{P}^1 は以下で与えられる:

 h( (x, y) ) = \begin{cases} x & AB \neq 0 \\ x^2 & B = 0 \\ x^3 & A = 0 \end{cases}