tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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Ray class field

雑記

\mathbb{Q} 上の Ray class field（円分体論）

\mathbb{Q} の \bmod{n} の Ray class field は，

\mathbb{Q}(\mu_n)

となる．ただし， \mu_n は n-等分点全体の集合．

虚２次体 K 上の Ray class field（虚数乗法論）

K を虚２次体とし， E/\mathbb{Q} を \mathcal{O}_K と同型な自己準同型環を持つ（虚数乗法を持つ）楕円曲線とする．このとき， K の \bmod{\mathfrak{c}} における Ray class field は，

K(j(E), h(E[\mathfrak{c}]))

となる．ただし， E[\mathfrak{c}] は E の \mathfrak{c}-等分点全体の集合で， j(E) は E の j-invariant， h(P) は Weber 関数．

H = K(j(E)) とし E: y^2 = x^3 + Ax + B, \; A, B\in H としたとき， E/H に対する Weber 関数 h : E \to E/\mathrm{Aut}(E) \simeq \mathbb{P}^1 は以下で与えられる：

h( (x, y) ) = \begin{cases} x & AB \neq 0 \\ x^2 & B = 0 \\ x^3 & A = 0 \end{cases}