続・xx + xy + 6yy の形で表せる素数

$f(x, y) = x^2 + xy + 6y^2$ として， $p = f(x, y)$ と書ける素数について。

以下の記事でいろいろ面白い事実について書いた。
tsujimotter.hatenablog.com

$\displaystyle q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)(1-q^{23n}) \tag{1}$

の式を展開し，その $q^n$ の係数を $a(n)$ としたとき， $a(p) = 2$ となるような素数 $p$ は， $p = f(x, y)$ の形で表せるという。

上の記事を書いたときは，その仕組みは分かっておらず，ただ「不思議だなぁと」思っていたのだが，ようやくその仕組みが理解できたのである。ここにメモをしておきたい。

なお， $a(p) = 2$ になる素数 $p$ の例を挙げると，

$\begin{eqnarray} 23 &=& f(-1, 2) &=& (-1)^2 + (-1)\cdot 2 + 6\cdot 2^2 \\ 59 &=& f(5, 2) &=& 5^2 + 5\cdot 2 + 6\cdot 2^2 \\ 101 &=& f(1, 4) &=& 1^2 + 1\cdot 4 + 6\cdot 4^2 \end{eqnarray}$

となる。

式 $(1)$ はデデキントのイータ関数により表すことができる。

$\displaystyle \eta(\tau) = q^{\frac{1}{24}} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^n), \hspace{20px} ただし，q = e^{2\pi i \tau}$

この式を使うと， $(1)$ 式は以下のように表せる。

$\displaystyle \eta(\tau)\eta(23\tau) = q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)(1-q^{23n}) \tag{1}$

この式を，五角数定理を使って変換すると

$\displaystyle \eta(\tau) = q^{\frac{1}{24}} \sum_{m=-\infty}^{\infty} (-1)^{m} q^{ \frac{m(3m+1)}{2} } = \sum_{m=-\infty}^{\infty} (-1)^{m} q^{ \frac{(6m+1)^2}{24} }$

なので

$\displaystyle \eta(\tau)\eta(23\tau) = \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^{m+n} q^{ \frac{(6m+1)^2 + 23(6n+1)^2}{24} }$

となる。

よって， $q^p$ の係数 $a(p)$ は，

$\displaystyle (6m+1)^2 + 23(6n+1)^2 = 24p$

を満たす素数 $p$ のパターンの列挙により計算できる。

ここで， $p = f(x, y)$ を満たす素数の場合，その解を $x, y$ とする。

$\begin{eqnarray} X &=& x - 11y \\ Y &=& x + y \end{eqnarray}$

とおくと，

$\begin{eqnarray} X^2 + 23Y^2 = (x-11y)^2 + 23(x+y)^2 = 24(x^2 + xy + 6y^2) = 24p \end{eqnarray}$

となって条件を満たす。

このときに，

$\begin{eqnarray} x-11y &=& 6m+1 \\ x+y &=& 6n+1 \end{eqnarray}$

を満たす $m, n$ の組を考える。

$p = f(x, y)$ を満たす $x, y$ の組は４組存在するが，上の式を満たす $m, n$ は２組であり，なおかつ $m+n$ はどちらも偶数となるので，結局 $a(p) = 2$ となる。

具体例を考えよう。 $p = 59$ とする。

$59 = f(x, y)$ となるような， $x, y$ の組をそれぞれ $(x_i, y_i)（ただし，i = 1, 2, 3, 4）$ とすると，

$\begin{eqnarray} (x_1, y_1) &=& (-7, \; 2) \\ (x_2, y_2) &=& (7, \; -2) \\ (x_3, y_3) &=& (5, \; 2) \\ (x_4, y_4) &=& (-5, \; -2) \end{eqnarray}$

ここで，

$\begin{eqnarray} X_1 &=& x_1 -11y_1 \\ &=& -7 - 11\cdot 2 \\ &=& -29 \\ &\equiv& 1 \pmod 6 \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} Y_1 &=& x_1 +y_1 \\ &=& -7 + 2 \\ &=& -5 \\ &\equiv& 1 \pmod 6 \end{eqnarray}$

となり，対応する $(m_1, n_1)$ は $(-5, -1)$ である。このとき， $m_1 + n_1 = -6$ で偶数。

また，

$\begin{eqnarray} X_2 &=& x_2 -11y_2 \\ &=& 7 - 11\cdot (-2) \\ &=& 29 \\ &\not\equiv& 1 \pmod 6 \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} Y_2 &=& x_2 +y_2 \\ &=& 7 - 2 \\ &=& 5 \\ &\not\equiv& 1 \pmod 6 \end{eqnarray}$

となり，こちらは不適。

次に，

$\begin{eqnarray} X_3 &=& x_3 -11y_3 \\ &=& 5 - 11\cdot 2 \\ &=& -17 \\ &\equiv& 1 \pmod 6 \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} Y_3 &=& x_3 +y_3 \\ &=& 5 + 2 \\ &=& 7 \\ &\equiv& 1 \pmod 6 \end{eqnarray}$

となり，対応する $(m_3, n_3)$ は $(-3, 1)$ である。このとき， $m_3 + n_3 = -2$ で偶数。

また，

$\begin{eqnarray} X_4 &=& x_4 -11y_4 \\ &=& (-5) - 11\cdot (-2) \\ &=& 17 \\ &\not\equiv& 1 \pmod 6 \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} Y_4 &=& x_4 +y_4 \\ &=& (-5) + (-2) \\ &=& -7 \\ &\not\equiv& 1 \pmod 6 \end{eqnarray}$

となり，こちらは不適。

よって，

$\displaystyle \begin{eqnarray} && (-1)^{m_1+n_1}q^{\frac{(6m_1+1)^2 + 23(6n_1+1)^2}{24}} + (-1)^{m_3+n_3}q^{\frac{(6m_3+1)^2 + 23(6n_3+1)^2}{24}} \\ && = (-1)^{\{(-5)+(-1)\}}q^{\frac{(6\cdot(-5)+1)^2 + 23(6\cdot(-1)+1)^2}{24}} + (-1)^{\{(-3)+1\}}q^{\frac{(6\cdot(-3)+1)^2 + 23(6\cdot 1+1)^2}{24}} \\ && = (-1)^{-6} q^{\frac{24\cdot 59}{24}} + (-1)^{-2} q^{\frac{24\cdot 59}{24}} \\ && = 2q^{59} \\ && = a(59) q^{59} \end{eqnarray}$

となり， $a(59) = 2$ が得られた。

今回は，

$\eta(\tau)\eta(23\tau)$

の形を使ったが，たとえば

$\eta(6\tau)\eta(18\tau)$

とか，

$\eta^2(\tau)\eta^2(11\tau)$

$\eta(2\tau)\eta(22\tau)$

$\eta(8\tau)\eta(16\tau)$

の形でも同様の法則を導ける。

何となく，二次形式の判別式とイータ関数に使っている数に関係がある気がする。 $x^2 + xy + 6y^2$ の判別式は $D = -23$ だが対するイータ関数の係数は $1\cdot 23 = 23$ だし， $x^2 + 27y^2$ の判別式は $D = -108$ だが対するイータ関数の係数は $6\cdot 18 = 108$ である。