逆関数の微分は微分の逆数 - tsujimotterの下書きノート

複素数 $z, w$ の間に

$w = f(z)$

$z = g(w)$

なる関係があるとします。 $f, g$ がともに正則関数であるとき、 $f, g$ は双正則であるといいます。

正則なので微分ができるわけですが、このとき次が成り立ちます：

$\displaystyle \frac{dz}{dw} = \frac{1}{\cfrac{dw}{dz}} \tag{1}$

さて、これは「逆関数の微分は微分の逆数」であるということを表しています。

単に、式の形だけみて $\frac{dw}{dz}$ を分数だと思うと、逆数とったらこうなるよね、と思うかもしれません。

いやちょっと待ってくださいよ。そもそもの微分係数の定義はこうでした。

$\displaystyle \frac{dw}{dz} = f'(z) = \lim_{z_0 \to z} \frac{f(z_0) - f(z)}{z_0 - z}$

この定義の通りに考えると、 $\frac{dz}{dw} = g'(z)$ であり、 $g$ は $f$ の逆関数です。そう考えると、なんでこの式 $(1)$ が成り立つんだろうと不思議になってきます。

今回はその不思議に対して直接答えを与えることはできませんが、ひとまず式 $(1)$ の証明を与えることだけやってみたいと思います。コーシー・リーマンの関係式と連鎖律を使うことになります。
tsujimotter-sub.hatenablog.com

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証明

$z = x + iy$ と $w = u(x, y) + i v(x, y)$ のように、実数および実関数で表示します。（複素数は実2次元のベクトル空間であるという事実を大いに使います。）

ここで、 $u(x, y)$ を $u$ の関数だと思って偏微分すると $\frac{\partial}{\partial u}\left( u(x, y) \right) = 1 \newcommand{\dd}[2]{\frac{\partial {#1}}{\partial {#2}}}$ であることと、連鎖律から

$\displaystyle 1 = \frac{\partial}{\partial u}\left( u(x, y) \right) = \dd{u}{x} \dd{x}{u} + \dd{u}{y} \dd{y}{u} \tag{1}$

を得ます。同様に $v$ を $u$ の関数だと思って偏微分すると $\frac{\partial}{\partial u}\left( v(x, y) \right) = 0$ より

$\displaystyle 0 = \frac{\partial}{\partial u}\left( v(x, y) \right) = \dd{v}{x} \dd{x}{u} + \dd{v}{y} \dd{y}{u} \tag{2}$

が成り立ちます。

$(1) (2)$ を行列表示すると

$\displaystyle \begin{pmatrix} \dd{u}{x} & \dd{u}{y} \\ \dd{v}{x} & \dd{v}{y} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dd{x}{u} \\ \dd{y}{u}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$

となります。（行列の部分はまさにヤコビアンですね。）

行列の部分はまさにヤコビアンですが

$\displaystyle J = \begin{pmatrix} \dd{u}{x} & \dd{u}{y} \\ \dd{v}{x} & \dd{v}{y} \end{pmatrix}$

とおくと

$\displaystyle \begin{align} \begin{pmatrix} \dd{x}{u} \\ \dd{y}{u}\end{pmatrix} &= J^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\operatorname{det} J} \begin{pmatrix} \dd{v}{y} & -\dd{u}{y} \\ -\dd{v}{x} & \dd{u}{x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\left(\dd{u}{x}\right)^2 + \left(\dd{v}{x}\right)^2} \begin{pmatrix} \dd{v}{y} \\ -\dd{v}{x} \end{pmatrix} \end{align}$

となります。

ここで、コーシー・リーマンの関係式で得られた微分係数の式より

$\displaystyle \frac{dz}{dw} = \dd{x}{u} + i\dd{y}{u} = \frac{1}{\left(\dd{u}{x}\right)^2 + \left(\dd{v}{x}\right)^2} \left( \dd{v}{y} - i\dd{v}{x} \right)$

が成り立ちます。また、

$\displaystyle \left(\frac{dw}{dz}\right)^{-1} = \frac{1}{\dd{u}{x} + i\dd{v}{x}} = \frac{1}{\left(\dd{u}{x}\right)^2 + \left(\dd{v}{x}\right)^2} \left( \dd{v}{y} - i\dd{v}{x} \right)$