0割りの話 - tsujimotterの下書きノート

「a ÷ 0 = ？」の話は度々話題になって、「0 で割ることはできないんですよ」というと「そんなことない。こうやったら割れるだろ。」と反論する人がいる。この辺の諍いが発生するのは、前提条件と論理が共有できていないからだと思う。

結局、上の下線部の主張は、以下の命題を優しく言い換えているにすぎない。

命題1：
$K$ を体とする。このとき、任意の $a \in K\setminus \{0\}$ に対して $0\cdot b = a$ なる $b \in K$ は存在しない。

命題1は体に対して成り立つ次の命題から容易に導ける。

命題2：
$K$ を体とする。このとき、任意の $b \in K$ に対して $0\cdot b = 0$ 。

つまり、体という代数構造の下では、 $0$ に何をかけても $0$ 以外にはならないから、掛けて $0$ 以外になるような数は存在しない、というわけだ。それ以上でもそれ以下でもない。この「体という代数構造の下では」という部分が最も重要である。

高校までの数学においては、基本的に集合というものを考えないように思う。いや、集合は単元として扱うのだけれども、たとえば数の演算を定義する際も、数同士の関係性にのみ着目し、その演算が定義されている集合を明示的には扱わない。

一方で、大学以降の（特に数学科で扱うような）数学においては、演算は集合の上の構造として定義され、明確に集合を意識して議論が行われる。上の話も、「体」という１つの代数構造を仮定したとき、その構造が持つ１つの性質を表現した定理にすぎない。当然、代数構造を取り替えれば、上の命題1は成り立たない場合も存在するし、実際0割りを取り入れた代数構造も存在するらしい（wheelなど）。

２つの考え方の違いを知って、それを乗り越えることは一種のパラダイムシフトだと思う。大学以降の数学に本腰入れて取り組まないと、受け入れるのはなかなか難しいと思う。数学科出身ではないアマチュア数学者の中に0割りにこだわる人が多いのも、このような背景を考えると頷ける。

ここまでで言いたいことはだいたい終わったが、最近私が気づいた（これまでちゃんと理解していなかった）ポイントを紹介したい。

体の公理に積についての逆元の公理がある。つまり、任意の $a \in K\setminus \{0\}$ に対して逆元 $a^{-1} \in K$ が存在する、というやつだ。一方で、命題1は $0$ に対して逆元が存在しないと言い換えることができる。