X^3-2 が素数 p で完全分解する条件と三次剰余の相互法則

解きたい問題は，素数 $p$ に対して， $\mod p$ で $X^3 - 2$ が完全分解するような $p$ の条件。三次剰余の相互法則を使って解く。

以下の記事に置ける TSKi さんのコメントを受けて，一気に理解が深まったので，忘れないうちにメモ。

tsujimotter.hatenablog.com

三次剰余の相互法則

$\displaystyle \omega = \frac{-1+ \sqrt{-3}}{2}$ とする。

$K = \mathbb{Q}(\omega)$ の整数環 $\mathcal{O}_K$ 上の準素な元 $\alpha, \; \beta$ に対して，以下が成り立つ。

$\displaystyle \left(\frac{\alpha}{\;\beta\;}\right)_3 = \left(\frac{\beta}{\;\alpha\;}\right)_3$

平方剰余の相互法則よりきれいにかけるんですね。

ポイントは， $\mathbb{Z}$ 上ではなく， $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\omega]$ 上で考えている点。だから，平方剰余よりややこしくなる。

準素とは：
$\mathcal{O}_K$ における素数 $\gamma = a + b\omega$ が， $\gamma \equiv 2 \pmod 3$ のとき，すなわち， $a\equiv 2 \pmod 3, \;\; b\equiv 3 \pmod 0$ を満たすとき， $\gamma$ を準素という。

与えられた素数 $\gamma \in \mathcal{O}_K$ に対して，同伴な数は以下の６つあるが，その中で準素な数は１つだけであることが示せる。

$\begin{eqnarray} \gamma &=& a+b\omega, \;\;\; &\omega\gamma &=& -b + (a-b)\omega, \;\;\; &\omega^2\gamma &=& (b - a) - a\omega, \\ -\gamma &=& -a-b\omega, \;\;\; -&\omega\gamma &=& b + (b-a)\omega, \;\;\; -&\omega^2\gamma &=& (a - b) + a\omega \end{eqnarray}$

イデアルを使えば，同伴な数をそのままひっくるめて扱えるから，この辺はイデアルで考えた方が簡単になりそう。

解法

$p \equiv 1 \pmod 3$ である素数 $p$ に対して， $\mod p$ で $X^3 - 2$ が完全分解する条件を考える。

$\displaystyle X^3 \equiv 2 \pmod p \;\; \Longleftrightarrow \;\; \left(\frac{2}{\;\ \gamma \;}\right)_3 = 1, \;\; p = \gamma \gamma'$

ただし， $\gamma$ は準素。

三次剰余の相互法則より，

$\displaystyle \left(\frac{2}{\;\ \gamma \;}\right)_3 = \left(\frac{\gamma}{\; 2 \;}\right)_3$

よって， $\displaystyle \left(\frac{\gamma}{\; 2 \;}\right)_3 = 1$ を考えれば良いが，定義より，

$\displaystyle Y^3 \equiv \gamma \pmod 2$

が解を持つ条件を考えればよい。

$\mod 2$ においては， $Y \equiv 0, \; 1, \; \omega, \; 1 + \omega \pmod 2$ を考えれば良いが，それぞれ三乗すると，

$\begin{eqnarray} 0^3 &\equiv& 0 \pmod 2 \\ 1^3 &\equiv& 1 \pmod 2 \\ \omega^3 &\equiv& 1 \pmod 2 \\ (1+\omega)^3 &\equiv& 1 \pmod 2 \end{eqnarray}$

となり，

$\displaystyle \gamma \equiv 0, 1 \pmod 2$

のとき，解を持つことが分かる。

ただし， $\gamma$ は素数より， $\displaystyle \gamma \equiv 0 \pmod 2$ は除外。

したがって，

$\displaystyle \gamma \equiv 1 \pmod 2$

また， $\gamma$ は準素より， $\displaystyle \gamma \equiv 2 \pmod 3$ である。したがって，中国剰余定理より，

$\displaystyle \gamma \equiv 5 \pmod 6$

が条件であることが分かった。

《結論》

$\displaystyle X^3 \equiv 2 \pmod p \;\; \Longleftrightarrow \;\; \gamma \equiv 5 \pmod 6, \;\; p = \gamma \gamma', \;\; \gamma は \mathbb{Z}[\omega] 上の素数で準素$