tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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積分定数(その2)

まさかその2を書くことになるとは思わなかった。

先の記事をツイートしたら、umezakiさんという方から「積分定数は0次のド・ラームコホモロジーとみなせる」ということを教えて貰った。感激したので、忘れないうちにメモ。

ド・ラームコホモロジーについては、以下の記事で丁寧すぎるぐらい書いたので見て欲しい:
tsujimotter.hatenablog.com


ただし、上の記事で0次のド・ラームコホモロジーを定義するのは無理がある。というのも、

 B^r(M) = \{ \underbrace{d\omega}_{\omega の外微分はr\text{-}形式 }\;\; \mid \;\; \omega \in \underbrace{C^{r-1}(M)}_{(r-1)\text{-}形式} \}

というベクトル空間を定義しているのだが、 r = 0 を入れると「 (-1)-形式」という謎の概念が出てきてしまう。結果的に言うと、「 (-1)-形式」は 0 であると見なせばいいのだが、説得力がない。


うまいこと定義するためには、ド・ラーム複体というものを考えたほうがよさそうである。同様に、 C^r(M) M 上の  r-形式全体の空間とし、 d^r: C^r(M) \to C^{r+1}(M) を外微分とする。この写像をつないでいくと、以下のような系列が得られる:

 0 \xrightarrow{d^{-1}} C^0(M) \xrightarrow{d^0} C^1(M) \xrightarrow{d^1} C^2(M) \xrightarrow{d^2} C^3(M) \xrightarrow{d^3} \cdots

一番左の写像  d^{-1} : 0 \to C^0(M) は、0 を  C^0(M) の 0 に写すいわゆる「0射」である。

このようにすると、 r \geqq 0 に対して  d^r \circ d^{r-1} = 0 を満たすので(2つ先まで飛ばすと0になる)、複体の条件をみたす。これをド・ラーム複体と呼ぶ。

複体に関しては、「いつものように」コホモロジーを定義できて、

 H^{r}_{\text{dR}}(M) = \text{Ker}\,d^r / \text{Im}\,d^{r-1}

となる。これを  r-次のド・ラームコホモロジーと呼ぼう。このような、複体からコホモロジーを定義するときの考え方については「コホモロジーの心」という本の説明が大変わかりやすい。

このド・ラームコホモロジーは、上の記事の定義とまったく同じものを指していることに注意しよう。次のような対応関係がある:

 Z^{r}(M) = \text{Ker}\,d^r
 B^{r}(M) = \text{Im}\,d^{r-1}

上のように定義しておくと、 d^{-1} があるおかげで、 r = 0 においてもド・ラームコホモロジーが定義できる。やったね。

また、このように見ると  C^{-1}(M) := 0 と定義するのがうまいやり方のように見える。プログラミングでいうところの「番兵」みたいなものだろうか。たとえが伝わらないかもしれないが。


さて、このように0次ド・ラームコホモロジー  H^{0}_{\text{dR}}(M) を定義したわけだが、 M = \mathbb{R} として計算してみるとどうなるだろうか。

まず、 \text{Im}\,d^{r-1} は明らかに 0 である。0射なんだから当然。となると、

 H^{0}_{\text{dR}}(\mathbb{R}) = \text{Ker}\,d^0

である。 d^0 という写像の核を考えれば良いから、

 d^0 \omega = 0

を満たすような0-形式  \omega を考えればよいことになる。0-形式だから  \omega \mathbb{R} 上の関数。

あれ、ってことは、単に微分して 0 になるような関数ってことじゃないか!これって、一個前の記事の

 y' = 0

の解  y を求めよってことだ。これは  C \in \mathbb{R} じゃないか。

というわけで、 \mathbb{R} の0次ド・ラームコホモロジー

 H^{0}_{\text{dR}}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}

こそが、積分定数の空間の正体だったというわけだ。これは面白い!!!

積分定数

数学ガール「ポアンカレ予想」を読んでいて(あまり本題に関係なく)感動したのが、不定積分についてである。

 f(x) の不定積分は、原始関数  F(x) を用いて以下のように表せる。

 \displaystyle \int f(x)dx = F(x) + C

ここで、 C は積分定数である。

高校の時からずっと機械的に(もしくはおまじない的に)「 C は積分定数である」と書いてきたわけだが、この積分定数とは一体何か、というのが今回の主題である。


まず、元の不定積分は、微分を使って以下のように書き換えることができる。

 \displaystyle F'(x) = f(x)

「これは微分方程式である」というのが、最も重要な視点の変換である。そういえば、これを微分方程式とみて考えたことは今までの人生の中で一度もなかった。これに感動したのである。

さて、微分方程式があったら、そのすべての解を求めたくなるわけだが、それが  F(x) + C なのである。この積分定数  C は、微分方程式の解すべてをあらわすためのパラメータである。つまり微分方程式の解の集合は

 \{ F(x) + C \mid C \in \mathbb{R} \}

というわけである。なるほど、積分定数は解の空間をあらわすパラメータだったというわけだ。


さて空間といったが、これは一体何の空間なのか?もっというと線型空間なのだろうか?

これに対する回答は、線形微分方程式の理論の中にある。線型微分方程式は、斉次なものと非斉次なものに分けられる。どうでもいいことだが、この「斉次」という漢字を変換するのにかなり時間がかかった。

斉次な線型微分方程式とは、解となる関数をたとえば  y とおいたときに、

 y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = 0

と書けるような微分方程式のことである。つまり、 y を微分したものしか、本質的に式に現れない。斉次な微分方程式の解空間は、 \mathbb{R} ベクトル空間になる。

一方で、今回対象となる微分方程式は「非斉次」である。 y = F(x) としたとき

 y' = f(x)

と表せるが、右辺の  f(x) y の微分では表せない。


さて、非斉次なタイプの微分方程式の解法は、斉次なタイプの方程式に帰着することだった。つまり、無理やり右辺の非斉次な項をゼロにしてしまうのである。すると

 y' = 0

となる。この微分方程式の解は、積分定数  C \in \mathbb{R} で表せる。つまり、解空間は  \mathbb{R} である。明らかに  \mathbb{R} ベクトル空間になっている。

元の非斉次な解すべてを得るためには、非斉次な方程式の解を一つ見つければいい。つまり、 y = F(x) が非斉次な解の1つなわけだが、これに先ほどの斉次な解空間  \mathbb{R} を加えたものが、非斉次なものも含めたすべての解空間である。すなわち、

 F(x) + \mathbb{R}

が解空間となるわけだ。なるほど、積分定数は1次元  \mathbb{R} ベクトル空間を表していたのか。


まさかの続き

tsujimotter-sub.hatenablog.com

多様体の勉強をしてみての雑感

いまかんがえると、一般相対論は可微分多様体の上で展開されていたんですね。舞台の存在がわかると安心する。

相対論で「座標変換に対して不変な物理量」にこだわっていたのは、局所座標にとらわれないで、多様体上にとって本質的な議論したかったからなのかな。

ケーラー多様体は、リーマン多様体(リーマン計量を入れた可微分多様体)の複素版なんですね。そんなにとんでもなく遠い存在じゃないことがわかって、安心しました。

感覚としては、リーマン面の定義を理解したときの感覚に近いですね。リーマン面は、1次元の複素チャートが入った多様体のこと。なんだ、多様体の座標が1次元の複素平面になっただけじゃないかと。なるほど、1次元複素平面だから、リーマンが議論した複素関数論で理解できるわけですね。だからリーマン面。

ガロア表現に関する資料

ガロア表現に関する参考資料をまとめます。

ガロア表現サマースクール

整数論サマースクール2009「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」 報告集の原稿ページ
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009proceeding.html

特に以下を読みたい:

[1] 落合 理:プレサマースクール—数論的な体の絶対ガロア群の構造への道先案内—
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009preparation.pdf

[2] 山内 卓也:ガロア表現の基礎 I
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009yamauchi.2010-2-13.pdf

[3] 千田 雅隆:ガロア表現の基礎 II
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/summer-school.pdf

[4] 三枝 洋一:エタールコホモロジーと l 進表現
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/SummerSchool-0201-2.pdf

ガロア表現の数論への応用

[5] 伊藤 哲史:平方数の和で表される素数について
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/proceeding/2010/ito.pdf

[6] 伊藤 哲史:コホモロジー論とモチーフ
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/hokudai200609.pdf


おわりに

[6] を参考にしながら、[1], [2], [3] を読みたいと思っている。[1] は読んで、[2] も途中まで読んだ。[4] は当分読めそうにないけど定期的にパラパラ眺めていたい。

今までまったく意識していなかったが、ガロア表現を少し齧ってから [5] を読むとめちゃめちゃ面白かった。

Chebotarevの密度定理の使い方がわかった

2つのガロア表現  \rho, \rho' :  G_K \to \mathrm{Aut}_R(M) が与えられたとき,その同値性の判定は簡単ではない.ところが,それぞれのガロア表現の半単純化  \rho^{ss}, \rho'^{ss} に関して言えば, K のすべての不分岐な素点  v \in \Sigma_K\backslash S に対するフロベニウス元 \mathrm{Frob}_v \in G_K)のトレースの値  \mathrm{tr}(\rho(\mathrm{Frob}_v)), \mathrm{tr}(\rho'(\mathrm{Frob}_v)) の一致によって同値性を判定できる.面白いことに,この証明には「Chebotarevの密度定理」を使うことになる.


Chebotarevの密度定理を使うポイントは,

【仮定】任意の不分岐な素点vのフロベニウス \mathrm{Frob}_vについて \rho, \rho'同士のトレースが等しい.すなわち
 \mathrm{tr}(\rho(\mathrm{Frob}_v)) = \mathrm{tr}(\rho'(\mathrm{Frob}_v)), \;\; \forall v \in \Sigma_K\backslash S
から
【結論】任意の G_Kの元について \rho, \rho'同士のトレースが等しい.すなわち
 \mathrm{tr}(\rho(g)) = \mathrm{tr}(\rho'(g)), \;\; \forall g \in G_K
を導く部分である.簡単に説明したい.


まず準同型定理により,ガロア表現  \rho, \rho' G_K \mathrm{Ker}\rho \cap \mathrm{Ker}\rho' で割った群  H := G_K/\mathrm{Ker}\rho \cap \mathrm{Ker}\rho' を経由するから, H に対する表現だけを観察すればいい.

 E = \{h \in H \mid \mathrm{tr}(\rho(h)) = \mathrm{tr}(\rho'(h))\}

という集合を考えて, E = H であることが【示すべきこと】である.
このとき, E \subset H は【閉】集合であることがわかる.理由は参考文献で.

一方,次の集合を考える:

 F = \{h \in H \mid \exists v \in \Sigma_K\backslash S, h = \mathrm{Frob}_v)\}

つまり  F は不分岐な素点  v についてのフロベニウス  \mathrm{Frob}_v に一致するような  H の元の集合である.

これは,【仮定】より  E に含まれる.なぜなら,【仮定】により,少なくともフロベニウスについてだけいえば, \rho, \rho' のトレースが一致することがわかっているから.よって, F \subset E

もっというと, F \subset E \subset H

ここで,【Chebotarevの密度定理】より, F H の中に【稠密】に入っている.
すなわち,稠密集合の定義より, F の閉包(定義: F を含むような最小の閉集合)は  H に一致する.

したがって,閉集合  E F を含むので,明らかに  H に一致しなければならない.よって, E = H がいえるというわけだ.

よって,すべての  h \in H について  \rho \rho' のトレースが一致することがいえて,【結論】が示された.証明おしまい.


参考文献:
今こちらを勉強しています.該当箇所は「命題 2-2-6.」です.「Chebotarevの密度定理」の使いどころはずっと気になっていたので,理解できてすごくうれしくてこの記事を書きました.
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009yamauchi.2010-2-13.pdf

また前提知識として,こちらも読んでおくといいと思います.
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009preparation.pdf

学術講演の質問

質問に対する講演者の対応について。

基本は(悪意がない限り)「理解できなかったから質問している」はずなので、たとえ講演内容と重複しても、もう一度丁寧に説明し直してあげるくらいがちょうどいいと思うんです。
間違っても「そんなん講演聞いてたらわかるでしょ」みたいな態度をとってはいけないと僕は思う。

今朝見た変な夢3

今日は、今朝見た夢について話そうと思います。



ゴジラが街中を歩いているところから話ははじまります。


自衛隊は駆逐のために作戦行動を取っていました。

(先日、シン・ゴジラを観た影響でしょうか)


道路を自衛隊が車で誘導。


誘導者が爆発して解決。



解決したはいいものの爆風で周りの建物のガラスが割れてひどいことに。


街は血まみれの人で溢れ、


たくさん犠牲者が出てしまいました。



ハッシュタグが流行って、タイムラインがそのときの「ゾッとする映像」で持ちきりになってしまいます。




月日は流れて、私のところにある日「アノニマス」の代表から突然連絡がありました。


我々は、社会問題に対して関心を持ってもらう活動をしている。
先日のゴジラの被害の件など。

我々がテレビで訴えかけたのをお前は見たか?と問いかけられた。

うん見たみた。



せっかくこうした活動を普及しようとしてるところで、最近困っていることがある。

普及しようとしている「圏論(なぜ圏論が出てきた?)」の「〇〇」という仕組みを説明する例に「カズコ」という謎の文字列が使われているのだ。


これはどういうことだ。

みんなどこのブログ記事も使っている


調べてみると、お前のブログの記事に使われた例が発祥になっていることがわかった。

「カズコ」とはいったい誰なんだ



あぁ、それは知っている。と私は答えた。



どうやらみんな「妹」だと思って、妹として解釈して説明しているが、これはおれの母親の名前だ。


そもそもこの例は「スーパーバイザー」という機能を説明するために出したものであるが
(いつのまにかプログラミングの話になっている)


スーパーバイザーといえば母親だ。だから母親の名前を使った。




アノニマス絶句。



というところで目が覚めました。




なんだこの夢w



読んでわかったかと思いますが、いらすとやというサイトの画像を使って、私の見た夢を表現してみました。
www.irasutoya.com



こんなよくわからない夢の説明をしようと思った時に、絵があると説明しやすいですよね。

でも私は絵が描けない。

こんなときに、いらすとやは使える。


いらすとやすごい。


というわけで、今日は「いらすとやアドベントカレンダー」5日目の記事でした!
adventar.org


明日の枠はまだ空いているようですが、誰か繋いでくれるといいな。

それでは~

*1:いろいろな怪獣のイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*2:ほふく前進のイラスト(自衛隊) | かわいいフリー素材集 いらすとや

*3:戦車に乗る人のイラスト(男性) | かわいいフリー素材集 いらすとや

*4:爆発のイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*5:割れた窓ガラスのイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*6:怪我をしている男の子のイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*7:お墓・墓石のイラスト(日本) | かわいいフリー素材集 いらすとや

*8:スマートフォンを使う男性のイラスト「喜・怒・哀・楽」 | かわいいフリー素材集 いらすとや

*9:ハッカーのイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*10:頷いている人のイラスト(男性) | かわいいフリー素材集 いらすとや

*11:文字化けした文章を見る人のイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*12:いろいろなブロガーのイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*13:お母さんの表情のイラスト「目がハート・疑問・居眠り・照れ」 | かわいいフリー素材集 いらすとや

*14:とぼける人のイラスト(男性) | かわいいフリー素材集 いらすとや

*15:寝起きのイラスト「爽やかに起きる男性」 | かわいいフリー素材集 いらすとや