tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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今朝見た変な夢3

今日は、今朝見た夢について話そうと思います。



ゴジラが街中を歩いているところから話ははじまります。


自衛隊は駆逐のために作戦行動を取っていました。

(先日、シン・ゴジラを観た影響でしょうか)


道路を自衛隊が車で誘導。


誘導者が爆発して解決。



解決したはいいものの爆風で周りの建物のガラスが割れてひどいことに。


街は血まみれの人で溢れ、


たくさん犠牲者が出てしまいました。



ハッシュタグが流行って、タイムラインがそのときの「ゾッとする映像」で持ちきりになってしまいます。




月日は流れて、私のところにある日「アノニマス」の代表から突然連絡がありました。


我々は、社会問題に対して関心を持ってもらう活動をしている。
先日のゴジラの被害の件など。

我々がテレビで訴えかけたのをお前は見たか?と問いかけられた。

うん見たみた。



せっかくこうした活動を普及しようとしてるところで、最近困っていることがある。

普及しようとしている「圏論(なぜ圏論が出てきた?)」の「〇〇」という仕組みを説明する例に「カズコ」という謎の文字列が使われているのだ。


これはどういうことだ。

みんなどこのブログ記事も使っている


調べてみると、お前のブログの記事に使われた例が発祥になっていることがわかった。

「カズコ」とはいったい誰なんだ



あぁ、それは知っている。と私は答えた。



どうやらみんな「妹」だと思って、妹として解釈して説明しているが、これはおれの母親の名前だ。


そもそもこの例は「スーパーバイザー」という機能を説明するために出したものであるが
(いつのまにかプログラミングの話になっている)


スーパーバイザーといえば母親だ。だから母親の名前を使った。




アノニマス絶句。



というところで目が覚めました。




なんだこの夢w



読んでわかったかと思いますが、いらすとやというサイトの画像を使って、私の見た夢を表現してみました。
www.irasutoya.com



こんなよくわからない夢の説明をしようと思った時に、絵があると説明しやすいですよね。

でも私は絵が描けない。

こんなときに、いらすとやは使える。


いらすとやすごい。


というわけで、今日は「いらすとやアドベントカレンダー」5日目の記事でした!
adventar.org


明日の枠はまだ空いているようですが、誰か繋いでくれるといいな。

それでは~

*1:いろいろな怪獣のイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*2:ほふく前進のイラスト(自衛隊) | かわいいフリー素材集 いらすとや

*3:戦車に乗る人のイラスト(男性) | かわいいフリー素材集 いらすとや

*4:爆発のイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*5:割れた窓ガラスのイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*6:怪我をしている男の子のイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*7:お墓・墓石のイラスト(日本) | かわいいフリー素材集 いらすとや

*8:スマートフォンを使う男性のイラスト「喜・怒・哀・楽」 | かわいいフリー素材集 いらすとや

*9:ハッカーのイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*10:頷いている人のイラスト(男性) | かわいいフリー素材集 いらすとや

*11:文字化けした文章を見る人のイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*12:いろいろなブロガーのイラスト | かわいいフリー素材集 いらすとや

*13:お母さんの表情のイラスト「目がハート・疑問・居眠り・照れ」 | かわいいフリー素材集 いらすとや

*14:とぼける人のイラスト(男性) | かわいいフリー素材集 いらすとや

*15:寝起きのイラスト「爽やかに起きる男性」 | かわいいフリー素材集 いらすとや

2次体の類数と連分数

ものさんという方に教えていただいたのですが、ザギヤー「数論入門 ゼータ関数と2次体」という本に面白い定理が載っていたので紹介します。

数論入門―ゼータ関数と2次体

数論入門―ゼータ関数と2次体

定理3(p.144):

 p \equiv 3 \pmod{4} を, p\neq 3 である素数,

 \displaystyle \sqrt{p} = n_0 - \cfrac{1}{n_1 - \cfrac{1}{n_2 - \cfrac{1}{\ddots - \cfrac{1}{n_r - \cfrac{1}{\ddots}}}}}

 \sqrt{p} の連分数展開とし,最小周期を  n_1, \cdots n_r とし, \mathbb{Q}(\sqrt{p}) の広義の類数は 1 であるとする.

このとき, \mathbb{Q}(\sqrt{-p}) の類数は

 \displaystyle \frac{1}{3}(n_1 + \cdots + n_r) - r

に等しい.

例を計算すると

 \sqrt{7} = [[3, \overline{3, 6}]] に対して  h(-7) = \frac{1}{3}(3+6) - 2 = 1

 \sqrt{11} = [[4, \overline{2, 2, 8}]] に対して  h(-11) = \frac{1}{3}(2+2+8) - 3 = 1

 \sqrt{163} = [[13, \overline{5, 2, 2, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 5, 26}]] に対して  h(-163) = \frac{1}{3}(5 + 2 + 2 + 4 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 2 + 2 + 5 + 26) - 35 = 1

ほんまや!


連分数展開と2次体の類数が結びつくなんて不思議ですね。

ものさんによると,連分数展開は2次体の性質を調べる上で標準的な道具になっているそうです。

ザギエの本は,買って以来ずっと棚の中にあったのでした。ほかにも魅力的なトピックがたくさん載っているみたいなので,ちゃんと読んでみようかなと思いました。

朝岩澤理論13:岩澤理論とその展望(下)

tsujimotter-sub.hatenablog.com

の続き。12については、下書き記事があるので、そのうち公開する。


下巻、第4章「楕円曲線の岩澤理論」を読んでみての感想とまとめを書く。これまでは毎週書いていたが、とても書く余裕がないので、キリのいいときに書くことにする。

岩澤理論とその展望(下) (岩波数学叢書)

岩澤理論とその展望(下) (岩波数学叢書)


まず,下巻を読み始めてたった50ページなのに、半年以上かかってしまった。かっこ悪いことであるが、朝岩澤理論をサボってしまっていたのだ。

いろいろ理由はありました。上巻を終えたり4月あたりから、仕事が忙しかったり体調が優れなかったり。
5月頃から、ぱったりやらなくなってしまっていました。
その間、別の分野の勉強をしたり、Iwasawa2017に参加したり、MathPowerに出て岩澤理論の発表をしたりいろいろありました。

9月の中ごろから、ようやくモチベーションが復活して、少しずつでも進めようと勉強を再開しました。そこから1ヶ月半くらいで、ようやく第4章が終わったところです。

結構大変だった。なにせ内容が難しいのです。下巻になってから、前提知識が増え本当に一気に難しくなりました。

でも面白い部分もありました。読んでよかったと思っています。面白かった部分を覚えている範囲で雑多に紹介していきたい。


上巻の内容は「イデアル類群の岩澤理論」でした。
下巻は「楕円曲線の岩澤理論」から始まります。

大事なポイントは以下の4つ。

  • セルマー群(古典的な方)のコントロール定理
  • 古典的セルマー群とGreenbergのセルマー群の関係
  • p進L関数の存在定理
  • セルマー群の有限性定理
  • 岩澤主予想

第4章前半の山場は、セルマー群のコントロール定理でした。イデアル類群の岩澤理論における「岩澤類数公式」に相当する定理です。類数公式は、 K_n のイデアル類群  A_n の位数(のp部分)を p のべきで具体的にコントロールできるものでしたが、セルマー群のコントロール定理は少し要領が異なります。 F_n のセルマー群の位数(のp部分)を  F_\infty のセルマー群(の p 次巡回群に対する不変部分)への制限写像  res_n でコントロールでき、 res_n のカーネルとコカーネルが有限で  n によらないというものです。

ただ、証明がとても長くて、かなり難しかったのであんまり理解できていない。この証明のところあたりから空白期間が始まったので、正直あまり覚えていないという状況。いつかまた読み返したい。

その後、Greenbergのセルマー群と古典的なセルマー群の関係についてやりました。次節からはGreenbergのセルマー群しか出てこないので、この関係は大事。証明にはコントロール定理を使う。

続いてp進L関数。楕円曲線のp進L関数では、Hasse-WeilのL関数をp進的に補間して定義される。
ただし、ここで「イデアル類群の岩澤理論」との違いが現れる。イデアル類群の岩澤理論では、リーマンゼータ関数の負の整数点と有限指標で補間した。一方、Hasse-Weilの方は、負の整数点はほとんどゼロになってしまう。関数等式を考えても、正の整数点も扱いづらい。したがって、 s=1 の点だけを使って、有限指標で補間するという発想になる。
たしかに、上巻のときも、落合先生は有限指標で補間することを強調されていた。
実際、リーマンゼータのように負の整数点が使えるケースはまれらしく、一般には今回のような方法を使うほかないらしい。

あと、もうひとつ面白かったのが関数等式や解析接続。Hasse-Weil Lの関数等式や解析接続は、そのままでは示すのが困難。一方で、 \mathbb{Q} 上であれば志村谷山予想が示されているので、モジュラー性より対応するHecke L関数がある。Hecke Lの方では、関数等式や解析接続がわかるので、Hasse-Weilもわかってしまう。モジュラー性がもはや前提になっているのだ。
ちなみに、虚数乗法を持つ場合には、代数的Hecke指標(Heckeの量指標Größencharakter)のL関数があって、それでかけるので定義体によらず一般に関数等式や解析接続が示せる。ちなみに、これはSilvermanの楕円曲線概論の上巻「虚数乗法」の最終節にも載ってる話だった。

セルマー群の有限性の証明では、Beilinson-KatoのEuler systemを使って証明の概略が示された。
Beilinson-KatoのEuler systemの具体的な構成は出なかったが、pの外不分岐な(テイト加群係数の)ガロアコホモロジーの元であることはわかった。
証明の概略では、セルマー群の大きさをコントロールしつつ、Euler systemの性質を使って、 l_i を足していくという感覚がわかって嬉しかった。
Kolyvaginが言っていた「p進L関数にはオイラー積がないけれど、オイラーシステムはそれの代わりになるもの」という感覚がなんとなくだけどわかった気がした(出典は「数学のたのしみ 岩澤理論の全貌」の栗原先生の記事)。
ともかく、これで有限生成ねじれ加群であることが示せるので、特性イデアルが定義できて岩澤主予想の土台に乗せることができるのだ。

最後は、岩澤主予想。楕円曲線の岩澤主予想は、ものすごくざっくり言うと

 char(Sel^{\lor}) = (L_p(E))

という関係式である。等式は、 \Lambda_{cyc, F} のイデアルとしての等式。

したがって、

 char(Sel^{\lor}) \supset (L_p(E)) \tag{1}
 char(Sel^{\lor}) \subset (L_p(E)) \tag{2}

の両方を示せばよい。

 \mathbb{Q} 上のp通常的な楕円曲線が虚数乗法を持つ場合には、Rohrlich-Rubinが証明している。

一方, \mathbb{Q} 上のp通常的な楕円曲線が虚数乗法を持たない場合には、いくつかの仮定のもとRohrlich-Katoが式  (1) を、Skinner-Urbanが式  (2) をそれぞれ証明している。

Katoの方はEuler systemを使って、Skinner-Urbanの方はMazur-Wilesのモジュラー的な方法に準じた方法を用いて証明している。

ここでようやく岩澤主予想の証明が2通り必要だったわけがわかった。すなわち、イデアル類群の岩澤主予想については解析的類数公式があったおかげで、片方の包含関係があれば自動的に両方が示されたわけだが。しかし、楕円曲線の方はそうはいかないから、両側を示すしかないのだ。

ところで、オイラーシステムを使った方は、どうも  p^t 分のずれが出てしまうらしい。たしかに円単数のときもそんな兆候はあった。モジュラー的な方法では、ぴったりいくという特徴があるらしい。

あと、Katoの方法は虚数乗法を持たない場合にしか使えないらしい。「虚数乗法を持たない場合にしか使えない」という感じが、これまで全然想像できなかったのだが、ようやくわかった気がした。証明の肝は、ガロア表現  \rho_{E, p} : G_{\mathbb{Q}} \to Aut(T_p E) が十分大きいことで、虚数乗法を持つ場合はこれが小さくなってしまうので、うまくいかないのだろうと思われる。
この辺を知ることができたのが収穫だった。


さて、次章からは「p進表現の岩澤理論」がはじまる。楕円曲線の岩澤理論は,楕円曲線を  B のモチーフ  H^1(B) の岩澤理論として解釈されるらしい。第5章でセッティングを述べて、第6章で結果を述べるらしい。

p進表現の岩澤理論(あるいはモチーフの岩澤理論と呼ぶべきかよくわからない)では、基本予想ABC(セルマー群の有限性予想、p進L関数の存在予想、岩澤主予想)が大事らしい。

第4章でも、p進L関数の存在定理や岩澤主予想は紹介されたが、証明はほとんどついていなかった。
p進表現に一般化させてから第6章で証明する方針らしくて、やっぱり第6章まで読んでおくべきだろう,と感じた。


今後ももっと難しくなることが予想されるけど、きっと牛歩だろうけど、ちょっとずつでも進めていこうと思う。

以上です。

シュレディンガーと猫と私

シュレディンガーの猫

シュレディンガー「ふっはっはっは。お前がこの箱を開けた瞬間に、箱の中の猫が生きているか死んでいるかが確……」

箱の中の猫「にゃーん」

シュレディンガーの元気な猫

シュレディンガー「ふふふ。お前がこの箱を開けた瞬間に、箱の中の猫が生きているか死んでいるかが確定する……」

箱「(ガサガサッ、ガサガサッ)」

私「これ、動いてません?」

俺の話を聞け

シュレディンガー「ふっはっはっは。お前がこの箱を開け……」

箱を開けようとする私「よいしょっと」

シュレディンガー「ちょ!!最後まで言わせて!!

理解力

シュレディンガー「ここに、箱があります。」

私「はい。それでは開けましょうか。」

いくつ知ってるかな?

シュレディンガー「この箱を開けた瞬間にロケットで飛んで行った双子の片割れが戻って来てそのエネルギーを使った熱機関が熱効率100パーセントでブラックホールの量子状態が消失する」

私「いろいろ混ざってる混ざってる」

自分メモ:収穫逓減

まず、「収穫逓減」って「しゅうかくていげん」って読むらしいですよ。
読み方すら知りませんでした。

経済学の言葉で、意味は「収穫を大きくしようと規模を拡大しようとしても、収穫の増加量が予想より小さくなってしまう」という現象のことらしい*1


わかりやすかったのが農地のたとえ。

何かの農作物をつくっていて、収穫量をあげたいと思った。
そこで、農地を倍に増やせば、収穫量も倍になるだろうと考える。
ところが、収穫量は倍にはならない。

なぜなら、増やした分の農地は、元々持っていた農地と比べて質が劣るからだ。
元々の農地は、最も質の高い場所を選んでいるはずなので、当然ほかの場所で探そうとすると質が下がってしまうのである。


同じように「今までこの部門で儲かっていたから、この部門に資金を集中させてもっと儲けよう」と考えて資金を投入しても、思ったほど儲けが増えないということが、実際現象としてあるらしい。


逆に「収獲逓増(しゅうかくていぞう)」という言葉もあるらしい。

つまり、規模を大きくすればするほど、収穫量が上がるというもの。そんなに変な現象ではない。
たとえば、生産性を上げるために規模を大きくしようとしたら、テクノロジー的な工夫が見つかってむしろ生産性が激増したりする、みたいな状況。

もしかしたら、先行者利益みたいなのもあるかもしれないですね。
市場にいち早く参入して、市場のシェアを十分に獲得すれば、自然に利益が集まってくる的な。

*1:「らしい」というのは正確な定義を調べていないから

Ray class field

 \mathbb{Q} 上の Ray class field(円分体論)

 \mathbb{Q} \bmod{n} の Ray class field は,

 \mathbb{Q}(\mu_n)

となる.ただし, \mu_n n-等分点全体の集合.

虚2次体  K 上の Ray class field(虚数乗法論)

 K を虚2次体とし, E/\mathbb{Q} \mathcal{O}_K と同型な自己準同型環を持つ(虚数乗法を持つ)楕円曲線とする.このとき, K \bmod{\mathfrak{c}} における Ray class field は,

 K(j(E), h(E[\mathfrak{c}]))

となる.ただし, E[\mathfrak{c}]  E \mathfrak{c}-等分点全体の集合で, j(E) E の j-invariant, h(P) は Weber 関数.

 H = K(j(E)) とし  E: y^2 = x^3 + Ax + B, \; A, B\in H としたとき, E/H に対する Weber 関数  h : E \to E/\mathrm{Aut}(E) \simeq \mathbb{P}^1 は以下で与えられる:

 h( (x, y) ) = \begin{cases} x & AB \neq 0 \\ x^2 & B = 0 \\ x^3 & A = 0 \end{cases}