ガウス和 を
のように定義したとき、
となるような square-free な整数 が存在することを示します。
は、二次体に付随するディリクレ指標で、以下のような準同型写像として定義されます。
以下は仮定します。
まず、 とおく。
準同型定理より は の正規部分群で、
となる。 の位数は より、 に対応する の部分群 が固定する体 は二次体であり、以下のガロア対応が成り立つ。
ところで、 の元として、 を以下のように定義すると、
の同型において に対応する の部分群 は、
であり、
である。明らかに の元はガウス和 を不変にし、 の元は の符合を変える。
したがって の固定体は であったから、
であり、 である。
さて、 は二次体であるから、 も二次体である。したがって、 となるような、 square-free な整数 が存在する。これが示したいことであった。