クンマーの合同式でよく出てくる分数の合同式.あの合同式はうまく定義されているんだろうか.
をそれぞれ既約分数として、 が と素であるとする.
このとき「分数の合同式」
を
を計算し,既約分数で表示したときの分子が で割り切れること,と定義する.
気になるのは上の合同式と,分数を に埋め込んだ
ときの「整数の合同式」
が同値であるかということだ. は における の逆元である.
例:
具体例で考えてみる.
とし, とする.それぞれ既約分数である.
「分数の合同式」は以下のように成立する:
よって,分子が で割り切れるので
一方で, での の逆元はそれぞれ である.よって
として,たしかに普通の合同式の方も成立している.
うーん,今のところうまくいっている気がする.