tsujimotterの下書きノート

このブログは「tsujimotterのノートブック」の下書きです。数学の勉強過程や日々思ったことなどをゆるーくメモしていきます。下書きなので適当です。

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レムニスケート関数とペー関数

の関係について気になったのでメモ。

 \Lambda = \mathbb{Z} (1+i)\varpi + \mathbb{Z} (1-i)(\varpi) として

 \displaystyle \text{sn}(z) = -2 \frac{\wp(z, \Lambda)}{\wp'(z, \Lambda)}
 \displaystyle \text{sn}'(z) = \frac{4\wp(z, \Lambda)^2 - 1}{4\wp(z, \Lambda)^2 + 1}

が成り立つ。

ってことは、単位レムニスケート曲線

 (X^2 + Y^2)^2 = X^2 - Y^2

は楕円曲線

 y^2 = 4x^3 - g_2(\Lambda) x - g_3(\Lambda)

に有理変換

 \displaystyle X = -2 \frac{x}{y}
 \displaystyle Y = \frac{4x^2 - 1}{4x^2 + 1}

で移りあうということか。

参考:
http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/ellfunc.pdf

の p.46 参照。