tsujimotterの下書きノート

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ディリクレの単数定理とペル方程式

数学

前の記事で「単数って面倒だよね」という話をした。

そのときは， \mathbb{Z}[\omega ] のような虚２次体の整数環を考えていたわけだ。 これで面倒だと騒いでいたわけだが，虚２次体の整数環における単数は「所詮」有限個しか存在しない。

実は，実２次体の場合は，単数は無数に存在する。これが「ディリクレの単数定理」だ。


具体的に， \mathbb{Z}[\sqrt{2}] を考えよう。

この環における，単数の１つがこれだ。

\varepsilon = 1+\sqrt{2}


そして，この単数をべき乗した，以下の数もすべて単数である。

\varepsilon^n

ちなみに，以下もすべて単数である。

-\varepsilon^n

念のため言っておくと， n は負を含む整数である。


まだあるのかと思うかもしれないが，これで全部だ。ディリクレにより， \mathbb{Z}[\sqrt{2}] の単数は以上であることが示されている。

たしかに，無数に存在することが分かった。

いかにも，めんどくさそうな話である。


とはいえ，悪い話ばかりではない。

単数の面白い応用例として，ペル方程式の話をしよう。

ペル方程式とは， D を平方数でない自然数としたとき，

x^2 - Dy^2 = \pm 1

を満たすような整数 x, y を求めよ，という問題である。


この問題は，単数を使ってあっけなく解決する。

今日は D = 2 のときを考えよう。

まず，

\varepsilon = 1+\sqrt{2}

は \mathbb{Z}[\sqrt{2}] における単数である。また，

-\varepsilon^{-1} = -\frac{1}{1+\sqrt{2}} = 1-\sqrt{2}

も同じ世界における単数である。

さて，これらの積を取ると，

\varepsilon \times (-\varepsilon^{-1}) = (1+\sqrt{2}) (1-\sqrt{2}) = 1^2 - 2\times 1^2 = -1

となって，これはペル方程式を満たす。

また，(-1) をかけて

\varepsilon \times \varepsilon^{-1} = (1+\sqrt{2}) (-1+\sqrt{2}) = 1^2 - 2\times 1^2 = 1

としてもいい。これもペル方程式を満たす。


面白いのはここからで，

\varepsilon^2 \times \varepsilon^{-2}
\varepsilon^2 \times (-\varepsilon^{-2})

としてもペル方程式を満たすし，もっというと任意の整数に対して

\varepsilon^n \times \varepsilon^{-n}
\varepsilon^n \times (-\varepsilon^{-n})

はペル方程式を満たすのである。

さらにいえば，ペル方程式の解はこの方法ですべて列挙できる。


面白いだろう！

厄介だと思っていた単数が，こんなにも役に立つなんて。
何事も使い方次第なのですね。

参考文献

フェルマーの大定理が解けた!―オイラーからワイルズの証明まで (ブルーバックス)

フェルマーの大定理が解けた!―オイラーからワイルズの証明まで (ブルーバックス)